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Ableitung Aufgaben mit Lösungen und PDF - Tangenten, Extrema und mehr

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Ableitungsprobleme - Anwendung von Ableitungen

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Mathe

Funktionen und analysis

Schnittpunkte und schnittwinkel

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•

5. Feb. 2021

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Ableitung Aufgaben mit Lösungen und PDF - Tangenten, Extrema und mehr

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Janika

@_.janika_

Differentialrechnung: Anwendungen und Problemlösungen

Die Differentialrechnung bietet vielfältige Anwendungsmöglichkeiten zur... Mehr anzeigen

ستمسسهم مستستسمه I Anstiegsproblem Anstieg an Stelle x₁ ; Anstiegswinkel 1) Tangente einzeichnen 2) Ableitung von f bilden 3) xo einsetzen =

Anwendungen der Differentialrechnung

Diese Seite bietet einen umfassenden Überblick über verschiedene Anwendungen der Differentialrechnung, die für die Lösung komplexer mathematischer Probleme relevant sind. Die behandelten Themen umfassen das Anstiegsproblem, Extremalprobleme, das Tangentenproblem, das Schnittwinkelproblem und das Berührproblem.

I. Anstiegsproblem

Das Anstiegsproblem befasst sich mit der Berechnung des Anstiegs und des Anstiegswinkels an einer bestimmten Stelle x₁ einer Funktion. Die Lösung erfolgt in mehreren Schritten:

  1. Einzeichnen der Tangente
  2. Bildung der Ableitung von f
  3. Einsetzen von x₀ in die Ableitung, um m zu erhalten
  4. Berechnung des Anstiegswinkels mit tan α = f'x0x₀

Definition: Der Anstiegswinkel α einer Funktion an einem Punkt wird durch den Arkustangens der Ableitung an diesem Punkt bestimmt: α = arctanf′(x0f'(x₀).

II. Extremalproblem

Extremalprobleme beschäftigen sich mit der Identifikation von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten einer Funktion. Diese Punkte zeichnen sich durch waagerechte Tangenten aus, was bedeutet, dass die erste Ableitung an diesen Stellen null ist.

Highlight: Hochpunkte und Tiefpunkte besitzen waagerechte Tangenten, für die gilt: f'x1x₁ = 0.

Die Lösung eines Extremalproblems umfasst folgende Schritte:

  1. Ermittlung, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt
  2. Bildung der Ableitung von f
  3. Nullsetzen der Ableitung: f'xx = 0
  4. Umstellen der Gleichung nach x
  5. Einsetzen des x-Wertes in die ursprüngliche Funktion fxx

III. Das Tangentenproblem

Das Tangentenproblem beschäftigt sich mit der Bestimmung der Tangentengleichung an einem gegebenen Punkt einer Funktion. Die Lösungsschritte sind:

  1. Bildung der Ableitung von f
  2. Einsetzen des x-Wertes des Punktes P in f'xx
  3. Aufstellen der Tangentengleichung: Fxx = mx + n, wobei y der y-Wert des Punktes P ist
  4. Berechnung der restlichen Variablen

Example: Für eine Funktion fxx = x² an der Stelle x = 2 wäre die Ableitung f'xx = 2x. An der Stelle x = 2 ist f'22 = 4, also die Steigung der Tangente. Die Tangentengleichung lautet dann y = 4x + n, wobei n durch Einsetzen des Punktes 2,42, 4 bestimmt wird.

Das Schnittwinkelproblem

Das Schnittwinkelproblem befasst sich mit der Berechnung des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Kurven. Die Lösung erfolgt in mehreren Schritten:

  1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen
  2. Umstellen nach x
  3. Bildung der Ableitungen
  4. Einsetzen von x in die Ableitungen
  5. Berechnung der Winkel α und β mit Hilfe des Arkustangens
  6. Berechnung des Schnittwinkels als Differenz der beiden Winkel

Vocabulary: Der Schnittwinkel ist der Winkel, den zwei sich schneidende Kurven an ihrem Schnittpunkt bilden.

Berührproblem

Das Berührproblem behandelt den Fall, bei dem eine Kurve eine andere an einem Punkt berührt, ohne sie zu schneiden. Hierbei stimmen sowohl der Punkt als auch die Anstiege der beiden Kurven überein. Die Lösungsschritte sind:

  1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen
  2. Umstellen nach x
  3. Einsetzen von x in die Gleichungen zur Ermittlung des Berührpunktes P
  4. Bildung und Gleichsetzen der Ableitungen
  5. Umstellen nach der gesuchten Variable
  6. Bestimmung der Berührfunktion gxx = mx + n

Example: Wenn eine Gerade y = mx + n eine Parabel fxx = ax² + bx + c berührt, müssen sowohl die y-Werte als auch die Steigungen an der Berührstelle übereinstimmen.

Diese Anwendungen der Differentialrechnung sind fundamental für die Lösung von Textaufgaben zur Ableitung und bilden die Grundlage für weiterführende Konzepte in der Analysis. Sie ermöglichen es, komplexe reale Probleme mathematisch zu modellieren und zu lösen, was sie zu einem wichtigen Werkzeug in vielen wissenschaftlichen und technischen Bereichen macht.



Wir dachten, du würdest nie fragen...

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Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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•

5. Feb. 2021

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Ableitung Aufgaben mit Lösungen und PDF - Tangenten, Extrema und mehr

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Janika

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Differentialrechnung: Anwendungen und Problemlösungen

Die Differentialrechnung bietet vielfältige Anwendungsmöglichkeiten zur Lösung komplexer mathematischer Probleme. Diese Zusammenfassung behandelt wichtige Konzepte wie das Anstiegsproblem, Extremalprobleme, das Tangentenproblem, das Schnittwinkelproblem und das Berührproblem. Dabei werden Ableitungen im Sachzusammenhangangewandt... Mehr anzeigen

ستمسسهم مستستسمه I Anstiegsproblem Anstieg an Stelle x₁ ; Anstiegswinkel 1) Tangente einzeichnen 2) Ableitung von f bilden 3) xo einsetzen =

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Anwendungen der Differentialrechnung

Diese Seite bietet einen umfassenden Überblick über verschiedene Anwendungen der Differentialrechnung, die für die Lösung komplexer mathematischer Probleme relevant sind. Die behandelten Themen umfassen das Anstiegsproblem, Extremalprobleme, das Tangentenproblem, das Schnittwinkelproblem und das Berührproblem.

I. Anstiegsproblem

Das Anstiegsproblem befasst sich mit der Berechnung des Anstiegs und des Anstiegswinkels an einer bestimmten Stelle x₁ einer Funktion. Die Lösung erfolgt in mehreren Schritten:

  1. Einzeichnen der Tangente
  2. Bildung der Ableitung von f
  3. Einsetzen von x₀ in die Ableitung, um m zu erhalten
  4. Berechnung des Anstiegswinkels mit tan α = f'x0x₀

Definition: Der Anstiegswinkel α einer Funktion an einem Punkt wird durch den Arkustangens der Ableitung an diesem Punkt bestimmt: α = arctanf′(x0f'(x₀).

II. Extremalproblem

Extremalprobleme beschäftigen sich mit der Identifikation von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten einer Funktion. Diese Punkte zeichnen sich durch waagerechte Tangenten aus, was bedeutet, dass die erste Ableitung an diesen Stellen null ist.

Highlight: Hochpunkte und Tiefpunkte besitzen waagerechte Tangenten, für die gilt: f'x1x₁ = 0.

Die Lösung eines Extremalproblems umfasst folgende Schritte:

  1. Ermittlung, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt
  2. Bildung der Ableitung von f
  3. Nullsetzen der Ableitung: f'xx = 0
  4. Umstellen der Gleichung nach x
  5. Einsetzen des x-Wertes in die ursprüngliche Funktion fxx

III. Das Tangentenproblem

Das Tangentenproblem beschäftigt sich mit der Bestimmung der Tangentengleichung an einem gegebenen Punkt einer Funktion. Die Lösungsschritte sind:

  1. Bildung der Ableitung von f
  2. Einsetzen des x-Wertes des Punktes P in f'xx
  3. Aufstellen der Tangentengleichung: Fxx = mx + n, wobei y der y-Wert des Punktes P ist
  4. Berechnung der restlichen Variablen

Example: Für eine Funktion fxx = x² an der Stelle x = 2 wäre die Ableitung f'xx = 2x. An der Stelle x = 2 ist f'22 = 4, also die Steigung der Tangente. Die Tangentengleichung lautet dann y = 4x + n, wobei n durch Einsetzen des Punktes 2,42, 4 bestimmt wird.

Das Schnittwinkelproblem

Das Schnittwinkelproblem befasst sich mit der Berechnung des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Kurven. Die Lösung erfolgt in mehreren Schritten:

  1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen
  2. Umstellen nach x
  3. Bildung der Ableitungen
  4. Einsetzen von x in die Ableitungen
  5. Berechnung der Winkel α und β mit Hilfe des Arkustangens
  6. Berechnung des Schnittwinkels als Differenz der beiden Winkel

Vocabulary: Der Schnittwinkel ist der Winkel, den zwei sich schneidende Kurven an ihrem Schnittpunkt bilden.

Berührproblem

Das Berührproblem behandelt den Fall, bei dem eine Kurve eine andere an einem Punkt berührt, ohne sie zu schneiden. Hierbei stimmen sowohl der Punkt als auch die Anstiege der beiden Kurven überein. Die Lösungsschritte sind:

  1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen
  2. Umstellen nach x
  3. Einsetzen von x in die Gleichungen zur Ermittlung des Berührpunktes P
  4. Bildung und Gleichsetzen der Ableitungen
  5. Umstellen nach der gesuchten Variable
  6. Bestimmung der Berührfunktion gxx = mx + n

Example: Wenn eine Gerade y = mx + n eine Parabel fxx = ax² + bx + c berührt, müssen sowohl die y-Werte als auch die Steigungen an der Berührstelle übereinstimmen.

Diese Anwendungen der Differentialrechnung sind fundamental für die Lösung von Textaufgaben zur Ableitung und bilden die Grundlage für weiterführende Konzepte in der Analysis. Sie ermöglichen es, komplexe reale Probleme mathematisch zu modellieren und zu lösen, was sie zu einem wichtigen Werkzeug in vielen wissenschaftlichen und technischen Bereichen macht.

Wir dachten, du würdest nie fragen...

Was ist der Knowunity KI-Begleiter?

Unser KI-Begleiter ist speziell auf die Bedürfnisse von Schülern zugeschnitten. Basierend auf den Millionen von Inhalten, die wir auf der Plattform haben, können wir den Schülern wirklich sinnvolle und relevante Antworten geben. Aber es geht nicht nur um Antworten, sondern der Begleiter führt die Schüler auch durch ihre täglichen Lernherausforderungen, mit personalisierten Lernplänen, Quizfragen oder Inhalten im Chat und einer 100% Personalisierung basierend auf den Fähigkeiten und Entwicklungen der Schüler.

Wo kann ich mir die Knowunity-App herunterladen?

Du kannst dir die App im Google Play Store und im Apple App Store herunterladen.

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4.8/5

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

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Greenlight Bonnie

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