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ANALYTISCHE GEOMETRIE Punkte: (AIBIC) Vektor verschiedene Vektoren */x1 Vektoroddition: 1. Ortsvektor: Ein Vektor der den Ursprung mit einem Punkt P verbindet, heißt Ortsvektor des Punktes P. Er hat die gleichen Koordinaten wie der Punkt P. Beroplet-P(0121-1) OP (2) z/x3 2. Gegenvektor: Beim Gegenvektor ist die Pfeilspitze auf der anderen Seite Beispiel: Vektor AB-() Gegenvektor: - AB • (³) ↳ Vorzeichenwechsel 3. Verbindungsvektor: Ein Verbindungsvektor verbindet 2 Punkte miteinander bzw. be- schreibt, wie man von Punkt A zu Punkt B gelangt. Beispiel A(01011) B(121-1) AB (²) -(;) -(:) 4. Nullvektor: Die Koordinaten des Nullvektor 6. Stützvektor: Der Vektor von dem der Richtungs vektor aus weg geht. Skalarmultiplikation: r Z= Stützvektor keine Verschiebung. 5. Richtungsvektor: Die Verbindung zwischen zwei Vektoren. Beispiel: BA (beginnt in 8 und endet in A) B (214) A (313) - (3)-(4¹) -(5) ())) →Y/xz /a₁ +b1 zeichnen einer Gerade im Raum :- (1) + (4) sind also parallel zueinands Beispiel: Richtungsvektor x11x2 *ly Ebene (xly lo) null. Dieser x21x3 y lz Ebere (olylz) 63 (Subtraktion erfolgt genauso) x1 x3 * Iz Ebere (xlolz) Kollinearitát: Zwei Vektoren sind kollinear, wenn sie in die gleiche oder genau entgegengesetzle Richtung zeigen, das heißt wenn sie ein Vielfaches voneinander sind. Die Vektoren ein. bewirkt /215) ist kollinear zu - wenn s=2,5 → Vektoren sind linear abhängig, wenn sie kollinear bew. parallel sind. 1. Man zeichnet vom Ursprung aus einen Pfeil des Stützvektors 2. Vom Endpunkt dieses Pfeils aus zeichnet man einen Pfeil (1). des Richtungsvektors u >> Man zeichnet die Gerade g so,...

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dass sie auf d llegt. Punktprobe eines Punktes auf der Gerade g: Schnittpunkte berechnen von 2 Geraden 1. Geradengleichung (en) aufstellen 2. Geradengleichungen gleichsetzen 3. Gleichungssystem mit 3 Gleichungen + 2 Unbekannten 4. Lineares Gleichungssystem mit Linsolve lösen 5. Eine Lösung in die entsprechende Geradengleichung einsetzen und dadurch den Schnittpunkt bestimmen 6. Schnittpunkt angeben 7. gegebenenfalls Probe machen mit anderer Gleichung Will man herausfinden, ob der Punkt G(01-211) aut der Geraden G liegt, setzt man den Ortsvektor - (²) des Punktes für ein und überprüft für die einzelnen Komponenten ob es ein gemeinsames r gibt. Beispiel: Daraus folgt 1 @)-() -) -) · (³) -- () r.2 (-1). Das Gleichungssystem ist für r=-1 erfüllt. somit liegt G auf g. Länge / Betrag eines Vektors Für aaz) gilt al: √√a₁²+az² Für a- 01 gitt lal: √a₁²+az²+93² gleichseitigen • Anwenden bei gleichschenkligen Dreiecken Abstand von zwei Punkten P(p₁|pz|p3) Q (91192193) 191-P¹ På · |PQ|-|- P³²-√(9₁-p₁)³² + (92- p2)²+ (93 −p3)² . Logebeziehungen von Geraden Sind Rv vielfache? ja ja Punktprobe (Pvon g auf h) nein g=h identisch 9th parallel nein LGS (gibt es eine Lösung :) rein schneiden Sich identisch Stutz + Richtungsvektoren gleich parallel Richtungsvektoren gleich ↳alle Komponenten gleich setzen und gucken was für + (=/#) passt Windschiet Lagebeziehungen Punkt und Ebene Möglichkeit 1: Punkt liegt in der Ebene Möglichkeit 2 Punkt liegt nicht in der Ebene Punktprobe:-Punkt wird vor die Ebene gesetzt • LGS wird aufgestellt - Linsolve: Ergebnis er liegt drauf Logelbeziehungen Gerade und Ebene 1. Möglichkeit - Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt kein Ergebnis- er liegt nicht drauf ↳ Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung 2. Möglichkeit - Die Gerade liegt parallel zur Ebene - keine gemeinsa- men Punkte ↳ Das Gleichungssystem hat keine Lösung 3. Möglichkeit - Die Gerade liegt in der Ebene- unendlich viele gemeinsame Punkte - Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen Bearbeitung - Gerade + Ebene gleichsetzen - LGS - Linsolve Geraden /Ebenen-gleichung aufstellen Gerode A (21314) B (2161-5) (3) A = Stützvektor Richtungsvektor ergibt sich aus AB (Ⓒ)-()-€) Geradengleichung: = tr Ebene: A (31211) B(21-114) C(1110) (₁) Spannvektoren werden mit A, B und C gebildet Beispiel AB AC ebenengleichung z. (3) + (+1) +r. = A- Stützvektor - * - Lagebeziehungen Ebene und Ebene 1. Möglichkeit Ebenen sind parallel - keine gemeinsamen Punkle Gleichungssystem hat keine Lösung 2. Möglichkeit Ebenen sind identisch- unendlich viele gemeinsame Punkte Gleichungssystem hat unendlich viele gemeinsame Lösungen und zwei Unbekannte 3. Möglichkeit Ebenen schneiden sich in einer Geradan - unend- Lich viele gemeinsame Punkte Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen aber nur eine Unbekannte PF. Beispiel: Spurgeraden Orthogonalität a1 /b1 az bz - Skalarprodukt - a3 Die Summe aus c1+ c² +c3 muss 0 ergeben, damit Orthogonalitát vorliegt ↳ kann man anwenden um zu überprüfen ob ein Drei- eck rechtwinklig ist Spurpunkte 1. Spurpunkt mit welcher Ebere ist gesucht? 2. Punkt der Ebene aufstellen, eine Ebene ist dabei O, die anderen werden mit Kreuzprodukt Variablen bezeichnet (8sp. (xlylo) 3. Gleichsetzen mit der Geradengleichung und auflösen 4. Spurpunkt aufstellen → Achtung eine komponente ist O! Mittelpunkt berechnen +b1|a²+b²| OM-OA+AB odor M (211b1 | 0216² as+b)) Winkelberechnung zwischen Vektoren cos(x)= a1.161 a₁·b₁ + a² b2 +93 b3 √ai+a+a√√bitb₂+b axb. a₁ az 93 Lotverfahren P(31313) (+) Abstand Pund F Q₁ → = b1 b2 b3 O Cz bi 62 C11 C2+ C3 -O -PF = 2,89 [LE] a2.b3-a3-b2 as.bt a1.bz-az. by •a1.b3 → Lotfußpunkt soll aut g liegen. 1+2t\/2\ PF=RV=0 to-1/3 F bestimmen

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Cool, mit dem Lernzettel konnte ich mich richtig gut auf meine Klassenarbeit vorbereiten. Danke 👍👍

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