Erwartungswert und Histogramm der Binomialverteilung
Der Erwartungswert einer Binomialverteilung lässt sich mit der Formel EX = n · p berechnen und gibt an, wie viele Treffer im Durchschnitt bei vielen Durchführungen zu erwarten sind.
Im Histogramm einer Binomialverteilung erkennt man folgende Eigenschaften:
- Die Säulenhöhen entsprechen den Wahrscheinlichkeiten PX=k
- Wenn der Erwartungswert ganzzahlig ist, entspricht er dem Wert k mit der höchsten Säule
- Die Form des Histogramms zeigt die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten
Merke: Bei einer Binomialverteilung mit p = 0,5 ist das Histogramm symmetrisch zum Erwartungswert. Bei p ≠ 0,5 ist die Verteilung asymmetrisch.
Beispiel mit Berechnung und Histogramm:
Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 4 und p = 0,5:
-
Berechnung des Erwartungswerts:
EX = n · p = 4 · 0,5 = 2
-
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung sieht so aus:
PX=0 = 1/16
PX=1 = 4/16
PX=2 = 6/16 ho¨chsteSa¨ule!
PX=3 = 4/16
PX=4 = 1/16
In diesem Beispiel ist der Erwartungswert ganzzahlig E(X = 2), und tatsächlich ist die Säule bei k = 2 am höchsten. Dies ist ein Merkmal symmetrischer Binomialverteilungen mit p = 0,5.
Anwendungstipp: Wenn Sie den Erwartungswert einer Binomialverteilung im Histogramm ablesen möchten und dieser ganzzahlig ist, suchen Sie nach der höchsten Säule. Bei nicht-ganzzahligen Erwartungswerten liegt der Erwartungswert zwischen zwei Säulen.
