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Eulersche Zahl und Exponentialfunktionen
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Louisa 🌙
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11/12/13
Klausur
Klausur mit den Themen von e, Ableitungen von Exponentialfunktionen und Gleichungen lösen
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Mathematik J1/1 Name: Xouisa Stahl Achte auf eine korrekte mathematische Schreib- und Ausdrucksweise! Nebenrechnungen sind anzuführen! Nachvollziehbarkeit und maximale Transparenz sind oberstes Gebot. Teil A: ohne Hilfsmittel Aufgabe 2 (3 VP) Löse die Gleichung e2x 6= -5e-2x. Aufgabe 1 (1,5 VP) a) Notiere die erste Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion. b) Bestimme die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = 3x. ln(2x). Aufgabe 4 (1 VP) 3.5 -3 -2.5 --2 -1.5 2. Klassenarbeit Aufgabe 3 (3 VP) Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = ex−³ + 1. Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle xo = 3 schneidet die Asymptote des Graphen von f im Punkt S. Bestimme die Koordinaten von S. Die Figur zeigt den Graphen einer Funktion f. Ist folgende Aussage wahr oder falsch? Begründe deine Antwort. ƒ'(ƒ(2)) <0 Ty 2 1.5 0.5 -1 -0.5 0 21.01.2021 VP: 28,5130 Notenpunkte: 15 12 -0.5 05 1/5 Unterrichtsnote: ➜BITTE WENDEN 25 B CL 3/5 X₂ Ut f(2)= 0,7 f'(017) 1 . Aufgabe 5 (3 VP) Gegeben sind die Graphen von f₁. a) f(x) = etx. Ordne die Parameter t = -2; 0; 2 den Graphen zu. -3 -2 -1 3 0 2 3 -X=2². (0-1) tx e -A=- #1:00 terl -2X e 0.X e 2x e² 7 b) ft(x) = (x − t) · ex. Bestimme die zu den einzelnen Graphen gehörenden Parameter. = 1. (0-4): 04-4 d X (x-1). e² (x-0). Q² = x.e 0 = (x-x^). e^ y = (0+1).6° -A.A= eht (0-0).et 3=(0-1).eº =-41:00 Aufgabe 6 (1 VP) Warum heißt die Zahl e überhaupt e und nicht o oder k oder sonst was? -A R O = (-+).e" 0= 2-1.e HTC te= e lie tod r X 2 Vy Werner-Heisenberg-Gymnasium Louisa Stahl J1 Teil A a)...
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f(x)= ln (x) f₁(x) = = r Vor- und Zuname Klasse/Kurs b) (x)= 3x. In (2x) e²x -6=-Se 2 3. ln(2x) + 3x·2·2x =3 ln (₂x) + 3 21,2 = 6€ = 5 + S e²-62² +5=0 Substitution: ** = 2²-6² + 5 = 0 INNF K 6± √(63²-4·1·5¹ 6+4 2₁=5 Resubstitution 2-4 2 A Nr. 3. fox)= e²²³ +1 f(u) = 2² +1=2 t: 12 = 1. (x-3)+2 V A=X-1+A 2=X 1 2 520 5=een ln(5) = 2x1:2 xh 1 = ²²² en en) = 2x = 01:2 r S 2²x² 1.e f(x)= r In(s) ex-b flue²=er $ xou ~ S(112) Asympiole: y = 1 Fach Mathe No 15 NP r r r Datum 21.01.21 myständlicher als nötig Punkte 28.5 del MISUP) JSUP 3VP Closin Nr.4 Die Aussage ist watır, da man am Graph von - banen wann, das die origing von f(enteprint 8') bRi 0₁7 stang mondion fallend ist, und f(21 * 0,7 Somit ist f(f(3)) Weine- als 0. yer's an die - Weil die skigung negativ ist. at=0 bau t = 2: grün : t= -2: brange r 6) orangut. 5 gran: t= 1 f r Begründung: s. Blatt Nr. 6 Die Zahl & heist culersche Zahl, das homut daher, dass der Mathematiker, der diese Zahl erfunden haz Evher hier 8 (MUP) Q.5VP) ние, Aufgabe 7 (3+6,5 VP) Ein Medikament kann mithilfe einer Spritze oder durch Tropfinfusion verabreicht werden. a) Bei Verabreichung des Medikaments mithilfe einer Spritze wird die Wirkstoffmenge im Blut eines Patienten durch den Graphen der Funktion f in der Abbildung beschreiben. Dabei ist t die Zeit seit Verabreichung in Stunden und f(t) die Wirkstoffmenge in mg. Beantworte folgende Fragen anhand des Graphen: (1) Zu welchem Zeitpunkt erreicht die Wirkstoffmenge ihr Maximum? (2) Zu welchem Zeitpunkt nimmt die Wirkstoffmenge am stärksten ab? (3) In welchem Zeitraum beträgt die Wirkstoffmenge mindestens 35 mg? Wirkstoffmange in mg f(t)_ 60- 1501 +40+ 30+ 201 10- 0 ↑ 2 4 Teil B: mit Hilfsmittel 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 geld in h b) Wenn das Medikament stattdessen durch Tropfinfusion zugeführt wird, lässt sich die Wirk- stoffmenge im Blut beschreiben durch die Funktion g mit g(t) = 80 (1e-0,05t); t≥ 0 . → BITTE WENDEN (t in Minuten seit Infusionsbeginn, g(t) in mg). (1) Berechne den Zeitpunkt, an dem ist die Wirkstoffmenge im Blut doppelt so hoch ist wie nach 5 Minuten? (2) Welche Wirkstoffmenge wird sich langfristig im Blut befinden? (3) Begründe, dass die Wirkstoffmenge ständig zunimmt. (4) Zu welchem Zeitpunkt beträgt die momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge 1mg? min 3
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f(x)= ln (x) f₁(x) = = r Vor- und Zuname Klasse/Kurs b) (x)= 3x. In (2x) e²x -6=-Se 2 3. ln(2x) + 3x·2·2x =3 ln (₂x) + 3 21,2 = 6€ = 5 + S e²-62² +5=0 Substitution: ** = 2²-6² + 5 = 0 INNF K 6± √(63²-4·1·5¹ 6+4 2₁=5 Resubstitution 2-4 2 A Nr. 3. fox)= e²²³ +1 f(u) = 2² +1=2 t: 12 = 1. (x-3)+2 V A=X-1+A 2=X 1 2 520 5=een ln(5) = 2x1:2 xh 1 = ²²² en en) = 2x = 01:2 r S 2²x² 1.e f(x)= r In(s) ex-b flue²=er $ xou ~ S(112) Asympiole: y = 1 Fach Mathe No 15 NP r r r Datum 21.01.21 myständlicher als nötig Punkte 28.5 del MISUP) JSUP 3VP Closin Nr.4 Die Aussage ist watır, da man am Graph von - banen wann, das die origing von f(enteprint 8') bRi 0₁7 stang mondion fallend ist, und f(21 * 0,7 Somit ist f(f(3)) Weine- als 0. yer's an die - Weil die skigung negativ ist. at=0 bau t = 2: grün : t= -2: brange r 6) orangut. 5 gran: t= 1 f r Begründung: s. Blatt Nr. 6 Die Zahl & heist culersche Zahl, das homut daher, dass der Mathematiker, der diese Zahl erfunden haz Evher hier 8 (MUP) Q.5VP) ние, Aufgabe 7 (3+6,5 VP) Ein Medikament kann mithilfe einer Spritze oder durch Tropfinfusion verabreicht werden. a) Bei Verabreichung des Medikaments mithilfe einer Spritze wird die Wirkstoffmenge im Blut eines Patienten durch den Graphen der Funktion f in der Abbildung beschreiben. Dabei ist t die Zeit seit Verabreichung in Stunden und f(t) die Wirkstoffmenge in mg. Beantworte folgende Fragen anhand des Graphen: (1) Zu welchem Zeitpunkt erreicht die Wirkstoffmenge ihr Maximum? (2) Zu welchem Zeitpunkt nimmt die Wirkstoffmenge am stärksten ab? (3) In welchem Zeitraum beträgt die Wirkstoffmenge mindestens 35 mg? Wirkstoffmange in mg f(t)_ 60- 1501 +40+ 30+ 201 10- 0 ↑ 2 4 Teil B: mit Hilfsmittel 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 geld in h b) Wenn das Medikament stattdessen durch Tropfinfusion zugeführt wird, lässt sich die Wirk- stoffmenge im Blut beschreiben durch die Funktion g mit g(t) = 80 (1e-0,05t); t≥ 0 . → BITTE WENDEN (t in Minuten seit Infusionsbeginn, g(t) in mg). (1) Berechne den Zeitpunkt, an dem ist die Wirkstoffmenge im Blut doppelt so hoch ist wie nach 5 Minuten? (2) Welche Wirkstoffmenge wird sich langfristig im Blut befinden? (3) Begründe, dass die Wirkstoffmenge ständig zunimmt. (4) Zu welchem Zeitpunkt beträgt die momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge 1mg? min 3