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Klausur Kurvenanpassung, Integralrechnung

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Integralrechnung, Wachstumsfunktionen
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3(3) 2 (3) x(0)₂ 3(3) x(4) 2(2) 4(4) Klausur Nr. 1 Kurvenanpassung bei ganzrationalen Funktionen, Integralrechnung, Wachstumsfunktionen 4(3) 5(3)s Montag, 9. Dezember 2019 Name: Ubrechan Majethemn Zulässige Hilfsmittel: CAS-Rechner, Formelsammlung Aufgabe R1 PARAMETERVARIATION (14 Punkte) Gegeben ist die Funktion f(x)=x²-3t²x-2t³ mit tEIR. a) Bestimmen Sie die Nullstellen von f₁. c) b) Ermitteln Sie die Extremstellen von f, und c) begründen Sie ohne weitere Rechnung, warum sich eine der Extremstellen auf der x-Achse befindet. d) Bestätigen Sie durch eine Rechnung, dass der Wendepunkt für alle Kurven der Schar auf der y-Achse liegt. el e) Zeigen Sie, dass die Extremstelle, die sich nicht auf der x-Achse befindet, von der x- Achse einen doppelt so großen Abstand wie der Wendepunkt besitzt. Aufgabe R2 PARAMETERVARIATION (9 Punkte) Gegeben sind die Funktionen f(x)=x²-x und g(x) = - = x² + 1/² x² 4 a) Ermitteln Sie die Differenzfunktion h(x) = f(x)-g(x) b) Berechnen Sie die Fläche, die die beiden Kurven f und g miteinander einschließen c) Erläutern Sie begründet, welcher Zusammenhang besteht, zwischen der Fläche, welche 2(1) h(x) mit der x-Achse einschießt und der Fläche zwischen f und g. Aufgabe R3 PARAMETERVARIATION (21 Punkte) In einem Betrieb wird im Produktionsprozess ein Gas verbraucht. Dazu wird das benötigte Gas durch eine Leitung aus dem Gastank in die Produktionsstätte geleitet. Das hierbei pro Zeit durch die Leitung strömende Gas wird als Gasstrom bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Stunde gemessen, die Zeit in Stunden (h)....

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Der Arbeitstag in dem Betrieb dauert 14 Stunden, am Ende des Arbeitstages wird das Ventil des Gastanks geschlossen. Für ein Modell, das den Gasstrom beschreibt, wird die Funktion f mit f(t)=-3-t+88-t³-816-t²+2304-t+2000, 0≤t≤14, verwendet. Dabei wird t in h und f(t) in angegeben. Der Zeitpunkt t=0 entspricht dem Beginn des Arbeitstages. mindestens 1500 5(5) a) Berechnen Sie die Gesamtzeit im Laufe eines Arbeitstages, in welcher der Gasstrom beträgt. Zu a): Geben sie das Ergebnis in Stunden und auf zwei Nachkommastellen gerundet an. Das Gas wird für den Verbrauch in einem Tank gespeichert. Dem Tank können 15600 L Gas entnommen werden. Über eine Anzeige wird das noch entnehmbare Gasvolumen in Prozent angezeigt. Zu Beginn eines Arbeitstages ist der Tank vollständig gefüllt, die Anzeige zeigt 100 % an. b) Bestimmen Sie das in der ersten Stunde des Arbeitstages entnommene Gasvolumen. c) Begründen Sie, dass das für die Produktion zu einem Zeitpunkt x nach Arbeitsbeginn noch entnehmbare Gasvolumen durch die Funktion g mit g(t) = 15600-f(t)dt, x in h, g(x) in L, beschrieben werden kann. 0 Der Tank muss aufgefüllt werden, sobald die Anzeige 20 % anzeigt. 4,5(5) d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt des Beginns dieses Auftankvorgangs. Viel Erfolg! 44,5(45) 3 98,3% 15 Punkte 12.1.20 Seite 2 von 2 Klausur Nr. 1 21213 ^(^) *(0) x (2) Name: Uareshan Noycrollin Aufgabe H1 KURVENANPASSUNG (5 Punkte) Ein Wasserstrahl eines Springbrunnens tritt in einem Winkel von 45° aus einer am Boden angebrachten Düse aus und spritzt in einem parabelförmigen Bogen 8 Meter weit. 2(2) a) Fertigen Sie eine Skizze samt Koordinatensystem an und (2), b) bestimmen Sie eine Funktionsgleichung, die dem Weg des Wasserstrahls entspricht. Kurvenanpassung bei ganzrationalen Funktionen, Integralrechnung, Wachstumsfunktionen 2(2) 15(2) b) Berechnen Sie das folgende Integral: f(x) dx. Ĵ 1 Aufgabe H2 INTEGRALRECHNUNG (6 Punkte) Gegeben ist die Funktionen f(x) = 6x²-4x+2. a) Geben Sie zwei verschiedene Stammfunktionen von f an. Hilfsmittelfrei Der Graph der Funktion g(x) = 4x³+6x²-8x+2 schließt mit dem Graphen von f zwei Teilflächen ein. Bearbeiten Sie eine der beiden folgenden Teilaufgaben: Entweder c₁ oder C₂: entweder C₁) Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich f und g an den drei Stellen XS1-1, Xs2=0 und X3=1 schneiden. oder X C₂) Berechnen Sie die Größe der von den Graphen f und g eingeschlossenen Fläche f(x) f'(x) Montag, 9. Dezember 2019 Aufgabe H3 WACHSTUMSFUNKTIONEN (4 Punkte) Für die Funktion f(x) = 4* sind zu einzelnen Stellen die Funktionswerte f (x) und/oder die zugehörige Steigung f'(x) angegeben. -1 1 1 4 2 16 -2 0 1 1. 16 0,0866 0,3466 1,386 5,545 12,18 (Summe der Teilflächen) Viel Erfolg! a) Ergänzen Sie für f(x) die beiden fehlenden Funktionswerte f(-2) und f(0). b) Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass die Steigung an der Stelle x=0 ungefähr f'(x) 1,386 beträgt. c) Geben Sie die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion f'(x) an. Seite 1 von 2 G Watte llawer Nr. i Marshan My claten Qq A HADAY 16 C b) ganarationale Function Bedingungen f(0) = 0 (2= ( (8) = 0 | f (4) = 0 drockte Folge Leine zusa klicke Information f(0) = 1 Hochpunkt f(x) = ax² + bx +c (AHB) b) X (0) ² 0 Skizze 2. Grades -> ((x) = 2ax + b C = O 964 +68+ c = 0 80 +6 0 Ausak geerfuct leichs unvo elständig reden dante Informationen M 8 => Spn m) 1 N 7 31 AH₂ a) f(x) = 6x² € - 4x + 2 F₂(x) = 2x3 2x² + 2x -_F₂ (x) = 2x³ - 2x² + 2x + 100 3 S fixy dx = S( 6x² - 4x + 2) dx 1 b T = (2.3° 54 3. [2x²³ - 2x² + 2x]1 = 28 Antwort: Das Cx) Dazu 18 + 39 40 f 2 ·2·3+2.3 10 gleichgesetzt f(x) = g(x) 16x² - 4x + 2 (=> 6x² - 4x <=> 6x ED + volgerächtig Integral beträgt 28 FE. Dazu werden beide Funktionen fund g 4x = E 6 MY Abbat ( 2∙1³ - 2-1² + 2.1) (2 2 +2 DI x ²² = 4 x ³ + 6x² − 8x +21-2 ausgeführt richtig = 4x³+6x² - 8x • + 6x² +4k 19x² + 4x Ansch und Bearbetting apeignet und sowerf K Werte einsehen und fertig 1+ 4x 11 = 6 x ² v Careshan Mayurathin C₂ A = A₁ + A₂ A² S x (3(x) - Ecx)) x + (4 x ³ + 6 + ² - 8x + 2)-(6x² - 4x + 2)) α/ 18 ( 4 x ²³ - x ²2 x 11 (4x²-11³-12--11-201 = -4 - (- 12)| 18 A₂ $ $1 (4x3-12$) = 0 - (4-12) 0-1-81 A: Die statwost H(X) = x² - 6x² h(x) start H(x) verwende A 18 der feilflüchen beträgt 16 FE. Du hathst ber c. doch schon Erst H3 bearbeiten? Foleristy was. $5 7 L IG Maywrather 01 (ARD) (₂(x)= x³-3+² x -2+³ 3 BIDAN سرای عملی a) f(0) = 33 - 31²0=21²³ OFE= D 243 CAS ((x)=0 < 0 = x²-3+²-2+³ 1727³ 312-213 3+x 1:37 21²2² = 2 fff A² Die '' " CAS (E) X = - + f^(x) = 0 O = 6 x X x = 27 V X = - + (b) f(x) = 0 Nootwendige f'(x)= 3x² - 3+² Bedingung: £²(x)=0 0 3+² 2 3x X Antwort: * est entweder gleich 2+ oder X=2 t H 3 S & V x² + für werde pulte 3. S for Hoch-oder Tet punkte Die wendestelle liegt imety auf der Achse + { ( 72 /24)} I überschen is let 1 {[+; +)} Hinreichende Bedlingaz fetilt [{@ Extremotellen liegen bei X= -+, ~ bei x = 0 ✓ and bes & die keine Extremstille - Wendesh the I d) Bei gler Verdestellen berechnung nimad Queite Ableitung der Fultion und setzt sie Do bei der 2. Ableitey mit 8 immer alle ts vegfallen verandert sich diese nicht = f'(x) = 6+ =0 <=> x=0 2 nen J funkt XzO also nicht durchgestrichen Ø geschen 7 Aukabe R₂ (a) hcx) = (cx) - g(x) = ( ^²₁ x ³-X) - ( - ^9 x ³ + ²2₂ x ²) 1 ZAB F* "1 61 ¾ h(x) = 0 31 1/2 x ²³ - 2/2 x ² - x = 0 C D x = − 1 V X = 0 x = 2 ||{{1|0|0}} O 0 A₁ - Shark [ ²2 x ²³-1/₂ x ² - x 3_₁_ tu 0208 ㅠ Azshaad (223101 CAS -1,23 1,3 A = A₁ + A₂ 21,5 42 FE A: Die Flache die eschlossen eiges = ग vor da Graple og and g Geträgt 1,592 FE wisd CB Die Fälle welche & hat mit der Achige erschlight und die Flüch Qwischen f und hat den of g gleichen Betrage Da Differenzfulltion von (cx) vel git) handelt, besitzt not? die gleiche Schrit punkte der beiden als Willstellen. Dabes besitzt es sich bei het, Ban um eine sie eingeschlossen mit der X-Achse die gleien Flache k(x)=2.4(x) hat auch die selben Nullstellen, wie fund of schnitstellen. Die Flache of jedoch nicht gleich 22 IL L Khareshan Aguratten al ARB a) (11) = −3+²+88-43-816 +² +20384 + + 2000 f) = 1500 1500 = -3+² +88 +³-816+ ² + 2034 + + 2000 65 * = -9,20 ✓ + = 6₁12 ut= 10,16 ✓ += 13,26 Der Gasstrom in h Zeitraum 10, 16h Zeitram und in b) f(1) 33€ Insgesamt GAS F(x) = -3²²3x²5 +22x² - 272 x³ + 1152 x² + 2000+ X CAS F(1) = 2901,4 Das in der beträgt 2901,4 L. c) wie an Teilaufgabe b) berechnet, benötigt um das entnommine Gas Volumen 20 berechnen das Zeit abschnitt. Integral wenn man Anfangsvolumen minus rechnet erhält ersten Suche in der jeweiligen also die entrehmbare g(t) = 15600 von Oh bis 6, 12 Studen mindestus 13,26 sturda you 1800 Anfuss Volumen antromme entrommene Gau al Gasvolmen En g(t) dargestellt das dat 345 entnommene Goswammen men des übrig bleibende noch Gas volumen, x S f(t) elt O = entre loures Volumen r CAS s+ 201 156001 = 316 31206 Gas beginnt der Bei B120/übrigem Auttanle vorgong- - F() = 3120 O = 17₁8h (F) ✓ £ = 3,51 v t= -2,9 Des dedpunkt befindet sich der Aubah vorging) bei der 17,8. Stude noch eine Arbeitstag und der 3,8. bzw. Studle der Folge tages. 4 c) 0 = x 3-312-213 jedoch nicht gleich. Die Funktion gilt nicht über then tobartstag hinous ! keine geeignete Bearbeitung C