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Kurvendiskussion

Kurvendiskussion

 kurvenuntersuchung
SYMMETRIE
f(x) mit Definitions menge D
- gilt fl-x) = f(x) für alle xe D, ist der Graph
von f achsensymmetrisch zur y-Ac
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Eine Zusammenfassung über die Kurvendiskussion: - Symmetrie - Globalverhalten - Nullstellen - Monotonie - Steigung - Extremstellen - Wendepunkte und Krümmungen - Beispielaufgaben - Bedingungen

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kurvenuntersuchung SYMMETRIE f(x) mit Definitions menge D - gilt fl-x) = f(x) für alle xe D, ist der Graph von f achsensymmetrisch zur y-Achse ·gilt f(-x) = -f(x) für alle xe D, ist der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung Eigenschaften: f(-x) = f(x) => gerade Funktion ktion f(-x) = -f(x) =>ungerade Funktion Eine ganzrationale Funktion of mit anx + + anx +ao istV - f(x) gerade, wenn der Funktionsterm f(x) nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen enthält. h - Hat - Ungerade, wenn der Funktionsterm f(x) nur x-Potenzen mit ungeraden Hoch- zahlen enthalt Sonderfälle : f(x) = -x² + 4x-1 => achsen Symmetrie Zur Gerade x=xo mit xo=2 f(x) = x²-3x² +4 => Punkt Symmetrie zum Punkt P (xolyo) mit P1112) / Beispiel: 9.b tim (x. f(x) = 4x4 + 2x²-82o. => parabellförmig, ungespiegelt, achsen- symmetrie Zur y-Achse f(x) = -6x5+ 3x² + 1x S= => S- Form, gespiegelt, punktsymmetrie prung Zum Urs V GLOBALVERHALTEN: an positiv, ngerade x-> +∞o gilt: f(x) ->²00 an positiv, n ungerade x->-∞ gilt: f(x) -> -∞ D an negativ, n ungerade x-> +∞ gilt: f(x) -> -∞0 DI an negativ, n gerade x->-∞ gilt: f(x) -> +∞ Definition: Für jedes neN heißt die Funktion : n-1 n fix + anx Ist - konstante Funktionen haben den Grad o - + an-1 X ganzrationale Funktion +...+ a^x + ao an #0, so hat f den Grad D. x−sao cao to Nullfunktion Zugeordnet X-0 wird kein Grad. Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion vom Grad n wird für betrags- mäßig große Werte von x vom Summanden anx bestimmt. (Summand mit der größten Hochzani) BEISPIEL: f(x) = 2x4 +7x³ + 5x² verhalten...

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für x-> ∞ Der Summand von f(x) mit der größsten Hochzahl ist 2x", also gilt f(x) -> ∞ für 4 X-> +∞ und X -- Knickfreier übergang: f(x) = g(x) f'(x) = g'(x) NULLSTELLEN: Lösungen der Gleichung f(x) = 0 Nullstelle: Ort auf der x-Achseo - sitt Bedingungen: 1.) 1st x1 eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n, dann lässt Sich b f(x) in der Form: f(x)= (x-x₁) · g(x) Schreiben. Dabei ist g(x) ein Polynom 1 vom Grad n-1 => Polynomdivision 2.) 1st XN eine Nullstelle von f(x), So muss f(XN) = 0 sein. Bsp: für f₁(x) = 3x4 - 2x² +5 f(XN) = 3XN 4 - 2XN² + 5 = O Eine ganzrationale (nEIN) hat BEISPIEL: Funktion vom Grad n höchstens n Nullstellen. muss gelten: 2x²4 +7 x ³ + 5x² | f(x) = 0 f(x) 2x4+7x³ +5x² = 0 x² (2x² +7x+5) = 0 IEQN-TR Menu A 2 x₁ = 0, x 2 = = 1₁ x3 = -2,5 Schnittpunkte mit der X-Achse: N₁ 1010) N₂ (-110) N3 (-2,510) MONOTONIE: Monotoniesatz: Die Funktion f sei im Intervall I differenzierbar. Wenn "alle x aus I gilt: -> f'(x) <0 <O humbista sab ngenuaal -> f '(x) > 0: fist streng monoton steigend in I F : für € ist streng monoton ↑ y = f(x) monoton steigend ^ y = f(x) monoton fallend STEIGUNG Berechnung mithilfe der ersten Ableitung f'(x). für x einen die einen Punkt einsetzen, an der Steigung berechnet werden Soll C N Definitionen: s.c. Die Funktion f sei auf einem definiert. EXTREMSTELLEN: Der Funktionswert f (xo) heißt: lokales Maximum von - wenn es eine Umgebung u(xo) gibt, so dass für alle wertex aus ucxo)n I gilt: f(x) = f(xo) f(x) = f(xo) Intervall I Extrempunkte: Hoch- und Tiefpunkte 7 globales Maximum / Minimum, wenn f(x) ≤ f(xo) bzw. f(x) = f(xo) für alle Werte von Xe D 1 lokales Minimum von f Extrema an einer Randstelle von D nennt Rand extrema man Suchbedingung - Funktion muss im Intervall I differen zierbar sein, ko muss eine innere Stelle Sein f(xo) = 0! Prüfbedingung f" (x) = 0! f“ (XE) > 0 -> lokales Minimum /Tiefpunkt f" (YE) <0 →> lokales Maximum / Hoch punkt Vorzeicher wechsel von f'(x) bei Yo 2 - Wechsel von positiven zu negativen Werten = lokales Maximum an xo - Wechsel von negativen zu positiven Werten = lokales Minimum an хо Sattelpunkt: Bed: f'(x) =0, f"(x) = 0, f" (x) = 0 -> kein Vorzeichenwechsel bei f'(x) • BEISPIEL f'(x) = 115x² +6x f"(x)= 3x+b Sil f'(x)=0=notwhe Suchbedingung 0 = 1₁5x ² + 6x 0 = x (115x+6) 0 1,5xH61-6 -6-1,SXL: 1,5 -4 = x2 EN XET Soi XE 2 = -4 Prefbedingung X1-0 y-wert: f(x) = ²x² + 3x² - 8 3 floD = 32.03 +3.0²-8 8 f1-4)= 32.(-4)³ + 3. (-4) ²-8 = 8 4 T(01-8) f (x) 0 f"(x)= 3x+6 f" (0) 23,0466 tov 2O = TP f" (-4)= 3. (-4) + 6 = -12 +6=-640✓ <0 = HP COM H(-418) . Wort SKT L hoc #bed MENE WENDEPUNKTE & KRÜMMUNGEN Wendestelle: eine innere Stelle xo von I, wenn im Punkt W (xol f(xo) der Graph von einer Linkskurve in eine Rechtskurve übergeht und umgekehrt. -Punkt W = Wendepunkt -Tangente in w=wendetangente -Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt Sattelpunkt Suchbedingung Wenn xo eine wendestelle von fist, gilt: f"(xo)=0! Prüfbedingung f" (x0) +0! Vorzeichen wechsel Verhalten des Graphen f" (x) > 0 => Link Skurve ->f"(x) wachst f" (x) < 0 => Rechtskurve →> f" (x) Schrumpft Monotoniesatz lässt sich krimmungsverhalten des Graphen mit 'f" von f' bestimmen: Nach dem das der Ableitung 2 be f"(x) f"(x) >0 = f'(x) monoton steigend => Linkskurve f" (x) < 0 = f'(x) monoton fallend => Rechts kurve BEISPIEL: f'(x)=1,5x²+6x Suchbedingung f"(x)=0 3x+6=0 1-6 3x=-61.3 x = -2 f(x) = 3x + 6 f"(x)=3 Prüfbedingung: {"(x)=0 f"(x)=3 f"" (-2)=3✓ Wendepunkt w(-210)

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