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Kurvendiskussion Klausur

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 Datum: 08.03.21
Kurs: 11M1
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Name: Viviana Littig
Aufgabe 1:
ay, Geben Sie das notwendige Kriterium für das Vorhan

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Datum: 08.03.21 Kurs: 11M1 1,3 1,4 7,37 1,376 7 1,377 Name: Viviana Littig Aufgabe 1: ay, Geben Sie das notwendige Kriterium für das Vorhandensein einer Extremstelle an. Formulieren Sie auch beide Möglichkeiten für das hinreichende Kriterium für das Vorhandensein einer Extremstelle. Definieren Sie den Begriff Sattelpunkt. Welche Ergebnisse sind beim Vorhandensein eines Sattelpunkts in der Kurvendiskussion zu erwarten? wie encennt man das rechnerisch? Aufgabe 2: 1. Kursarbeit in Mathematik in 11/2 μg ml Die Funktion c(t) = t³ - 18t² +81t beschreibt die Wirkstoffkonzentration c(t) in eines Schmerzmittels im Blut eines Menschen in Anhängigkeit der Zeit t in Stunden nach der Einnahme des Schmerzmittels. 1,38 a) Ermitteln Sie den für Beschreibung der Situation durch die Funktion sinnvollen Definitionsbereich. b) Berechnen Sie die Wirkstoffkonzentration 30 Minuten nach der Einnahme. c) Zu welchem Zeitpunkt ist die Wirkstoffkonzentration im Blut am größten? Wie hoch ist die Wirkstoffkonzentration zu diesem Zeitpunkt? d) In welchem Zeitraum steigt die Wirkstoffkonzentration an, in welchem Zeitraum fällt die Konzentration ab? (mit Begründung!) e) Zu welchem Zeitpunkt fällt die Wirkstoffkonzentration am schnellsten? f) Zu welchem Zeitpunkt steigt die Wirkstoffkonzentration im sinnvollen Definitionsbereich am schnellsten? g) Der Schmerz ist bei Konzentrationen ab 80 für den Patienten nicht mehr spürbar. Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem der Patient schmerzfrei ist. μg ml Aufgabe 3: Gegeben ist die Kurvenschar f(x) = a.x³ - (a + 1) x² mit a ER. a) Untersuchen Sie, ob die Kurven der Kurvenschar punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch...

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zur y-Achse sein können. b) Bestimmen Sie die Nullstellen der Kurvenschar. Untersuchen Sie, wie viele Nullstellen die Kurvenschar in Abhängigkeit von a haben kann. c) Bestimmen Sie die Wendestelle der Kurvenschar in Abhängigkeit von a. Für welche a handelt es sich um eine Recht-Links Wendestelle? Für welche a um eine Links- Rechts-Wendestelle? ау Mit ga(x) = ax³ - a³ - a² mit a € R\{0} ist eine weitere Kurvenschar gegeben. d) Zeigen Sie, dass sich die Funktionenscharen fa (x) und ga (x) für alle a 0 und a -1 in den Punkten S₁ (ala4-a³ - a²) und S₂(-al-a²-a³-a²) schneiden. e) Ermitteln Sie die Ortskurve für die Schnittpunkte S₁. f) Für welches a wird der y-Wert der Schnittpunkte S₁ minimal? 1. Kursarbeit im Mathe Leistungskurs 1112 Nr. 1 a) Die Funktion f sei differenzierbar. Ist XE dann ein lokales Extrema ist f'(x) = 0. ☆ b) Hinreichendes Kriterium (f"- Kriterium): ←☆ Die Funktion f sei in einer Umgebung von XE zweimal differenzierbar. 1st f'(x₂) = 0 und f" (x₂) >0 →dann liegt an der Stelle XE ein lokales Minimum con f. 1 f'(XE) = 0 und c) 1st f'(x) = 0 und 8.3.21 Viviana Littig 2P/2P f"(XE) <O → dann liegt an der Stelle XE V o lokales ein lokales Maximum von f. f"(X=) = 0 < bzw. wechselt in XE Claes Krümmungsverhalten, so liegt for jede ganzrationale Funktion ein Saltelpunkt vor. einen Sattelpunkt. →rechnerisch erkennt man ✓, wenn für f'(xe) und f"(XE). O rauskommt. ☆ Die Punkte be f'(x=) = 0 sind dabei die einzigen Koordinaten für lokale Hoch- oder Tiefpunkte. Manchmal werden sie auch als potentielle Extrema bezeichnet. ✓ S,SP/6P Ein Sattelpunkt ist kein lokales Extrema, sondern eine Wendestelle mit waggerechter Tangente und wechselt das Knimmungsverhallen bei XE. V 20/20 Hinreichendes Kriterium (Vorzeichenwechse)) Die Funktion f sei in einer Umgebung von XE zweimal differenzierbar und es gelte f'(x) = 0 Wo? Hat dann die 1. Ableitung f'einen VZW von + nach - ein lokales Maximum von fuor. → VZW von Liegt u nach + liegt ein lokales Minimum von f Lor 2P/2P 28/2P 2P/2P Nr. 2 c(t) = £²³-186² +816 c'(t) = 3t² - 36t + 81 V a) Nullstellen: c(t)=0 → €³-18t² +81 t = 0 t(t²-18€ +81) = 0 c"(t)=6t - 36 c"(t)=6 4P/4P ↓ ₁=0 b) Nach 30min 0,5h t213 c) Extrema: c'(t)=0 ← = ->3t²-36t+81=0 18 ± √( 183²-4-1.81 2.1 ein sinnvoller Definitionsbereich wäre das Intervall zwischen den beiden Nullstellen (0/0) und (910) (> da der Wirkstoff nur zwischen dem Internall => D= [0₁9] Callgemein sind doer wirkt. alle Zahlen für terlaud ->deshalb normalerweise D=RI t₂ = 9 €3-9 c(0,5) = 0,5³-18- 0,5² +81-015 36,125 Nach einer halben Stunde betragt die Wirkstoff /iconzentration. 36, 125 m V N₁ (010)✓ N₂ (910) abc: Xiz c" (9)=6.9-36 = 18 >0 → TP ✓ c" (3) = 6·3-36 = -18 <0-> HP 36± √(-36)²-4·3·81 2.3 x₁1₁ = 9 x₂ = 3 ✓ C(3)=3³-18-32 +81-3 =108 H(3/108) →die Wirkstoffkonzentration ist 3h nach Einnahme am größlen Mg und betrögt. 108 Ma f d) Monotonieverhalten: f'(x) < 0 →> streng monoton fallend f'(x) > 0 →> streng. monoton steigend → mit Testeinsetzungen streng Steigend im Bereich J-∞0;3] und im Bereich [49] fällt die Funktion streng monoton." Die Funktion c ist incroton Steigend 2 Panach steigt die Funktion wieder streng monoton im Bereich [9; +∞ [] el Wendepunkt: c(t)=0 → 6t -36 = 0 1+36 6t=36 1:6 t=6 W(6/54) -> Die Wirkstofficon. fällt am schnellsten nach 6h. V f) Randextrema. ¿'(0) oder c'(9) 2¹ (0) = 3·0²-36-0+81 = 81 g) 80 = t³ - 18t² +81. -1-t3-186² -1718.1² x - 1 + 18t² = t3 3 to = => Die Wirkstoffkon. steigt am schnellsten bei O -1+18 t = 2² -1+18· X to - 1+18 = t c" (6) = 6 = 0V >0→> REN c(6)= 63-18.6² +81-6 z x t = 17 1-81 1+18+² 1:t = 54 1: t c'(9)=39²-36-9 +81 - 0 D Testeinsetzungen: 1,37661 J nach 1,3766h der Einnahme des Schmerzmitels ist der Patient schmerzfrei. Wie lange? ¥2. Wert 2P/3P 3P/3P 3P/3P 1,5P/3P Balt 2 : Nr.3 fa(x) = ax³-(a+^).x² fa (x) = 3ax² - 2(a+1)x 2(a+^) fa (x) = 6ax fa (x) = 6a a) Punkt symmetrie : f(x) = -f(-x) oder alle Potenzen ungerade Achsensymmetrie: f(x) = f(-x) oder alle Polenzen gerade → Die Kurven der Kurvenschar konnen weder Punkt-, noch Achsensymmetrisch sein, da die Potenzen gerade und ungerade sina 1P/3P → Jelbst wenn a= x ist geht es nicht, da wieder ungerade und gerade Potenzen rauskommen: falx) = x 4 = x3 - x² Ausnahmen a=0 a³-1 b) Nullstellen: fa(x) = 0 a.x³-Ca+1)⋅ x² = 0 = x Cax² - Ca+1)x) = 0 ↓ OV 7213 abc: ax² - Ca+1)x+0 (a+1)=√(+15²-4.0.0 20 ~² Wenn die Schar drei Nullstellen hat, dann ist a<-1 oder ((a+1))² = 0 (a+^)(-a+1). =a²=2a + 1 = 0 Wenn die Schar zwei Nullstellen Nullstelle hat, dann ist a=-^ — dann abc: ann hat es nur 1 Nullstelle a 1 2 x² ausklammern a>-^ → a-1. 8.3.21 Uuara Cittig, HSS 11 202124.11 2 Die Schar hat aber immer die Nullstelle N₁ (0/0) za 1 a. (a+1) - √(-(@+ 1)² )³ - za AP/3P Nullstelle hat immer y = 0 Nicolo) ↑ (a+1)+ √(am))²-4.9.0 /a. ((a+1) + √(ar^²=0)³ - (a+1). ((a+1)+ √((a+^])²_) 2a za N₂ C N₂ ((a+^) - √eca+1)² za (2²) (a+1). ((a+1 (a+1). ((a+1=√(- (am) ²) za ²)

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So ein schöner Lernzettel 😍😍 super nützlich und hilfreich!

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