Alternativer Bildtext:

vier gelb und sechs schwarz gefärbt sind. a) Das Glücksrad wird 40-mal gedreht. Bestimmen Sie für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit: Es erscheint mindestens 20-mal ,,schwarz". Die Anzahl der Drehungen mit dem Ergebnis „schwarz" weicht um höchstens 20% vom Erwartungswert dieser Anzahl ab. A: B: b) Bei einem Spiel dreht ein Spieler das Glücksrad dreimal. Erhält er genau zweimal „gelb", dann werden ihm 5 Euro ausbezahlt. Erhält er dreimal „gelb", dann werden ihm 15 Euro ausbezahlt. Ansonsten wird ihm nichts ausbezahlt. Untersuchen Sie, bei welchem Einsatz dieses Spiel fair ist. Aufgabe 6: /13 VP) Ein Restaurant bietet seinen Gästen verschiedene Menüs an. Neben fleischhaltigen Menüs gibt es zwei vegetarische Menüs M1 und M2. Im Durchschnitt entscheiden sich 15 % aller Gäste für das Menü M1 und 10 % aller Gäste für das Menü M2. Vereinfachend geht man davon aus, dass die Bestellungen unabhängig voneinander sind. a) An einem Tag kommen 120 Gäste, von denen jeder ein Menü bestellt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Genau 20 Gäste entscheiden sich für das Menü M1. B: Mehr als 25 und weniger als 40 Gäste wählen ein vegetarisches Menü. C: Die ersten 10 Gäste bestellen ein fleischhaltiges Menü und insgesamt werden an diesem Tag 25 vegetarische Menüs bestellt. b) Geben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment und ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit sich mit dem folgenden Term berechnen lässt: 1-0,7510 -10.0,75⁹ -0,25 c) Das Restaurant hat Zutaten für die Zubereitung von genau 50 Menüs M1 gelagert. Bestimmen Sie, wie viele Gäste höchstens im Restaurant essen dürfen, damit die Vorräte für das Menü M1 mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % ausreichen. d) Neben dem Restaurant soll in einiger Zeit eine Baustelle eingerichtet werden. Es wird befürchtet, dass aufgrund des Lärms weniger Gäste kommen werden. Deshalb soll die Nullhypothese Ho: „Mindestens 10 % der Gäste werden aufgrund des zu erwartenden Lärms nicht mehr ins Restaurant kommen." auf Basis einer Umfrage unter 200 Gästen auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel. e). Vor der Konzeption des Tests zog die Restaurantleitung in Erwägung einen Lärmschutz errichten zu lassen und stellte folgende Überlegungen an: 1: Wenn der Lärmschutz errichtet wird, obwohl der Lärm weniger als 10 % der Gäste stört, entstehen unnötige Ausgaben. II: Wenn der Lärmschutz nicht errichtet wird, obwohl der Lärm mindestens 10 % der Gäste stört, entgehen dem Restaurant Einnahmen. Erläutern Sie, für welchen dieser beiden Fälle die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens mit obigem Test auf % begrenzt werden kann. Beurteile folgende Aussage: Liegt beim obigen Test das Umfrageergebnis im Ablehnungsbereich, dann trifft die Nullhypothese mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht zu. VIEL ERFOLG!!! a) f(x) = 4x². sin(e²x) f'(x) = 8x. sin(e²x) + 4x² cos (e²x). 2e²x < 8x (sin(e²x) + xe ²x. cos (e²x)) r esx-6e³x + Sex=0 ex. (eux-6e²x+5)=0 tor =0 eux - 6e²x + 5 = 0 2= ²x 2²-62 +5=0 MUE= 20 = 6 + √(-6) 2-4.1.51 2 Subst. Resubst.: x²-4=0 44 2x = in5 1:2 ins xn= 2 t=453 π₁ (x²-4). sin (x-17-0 TL 2 For x²=4 1+√7 *₁ = 2 x ₂ = -2 6±4 2 24=5 e²x = 5 1ln Xy = 3π 2 X₂ [0₁2] (= { //12, 313 sin (x-1)=0 X3 = 12 L e²x=116 2x = ln 1 1:2 In 1 X=0 r X= [0₁2] Skizze sin(x) A 515 nudl 1.5/15 2/2 Nr. 2 } { 4 dx = [4 (nx Je² = (4. (ne²) - (4 (1) Nr.3 4 lne? > 7 4. ((ne & (ne) 57 4. (1+1) >7 837 W.A. Ja, der Wert des Integrals ist größer als Sieben. 4 weiße E: 2mal weiß P(E)= 4² MWF: x rote Kugeln X1127 4+x . 2 Kugeln ohne zurücklegen (2x) Зах 12 (4+x). (3+x) 12 12+4x+3x+x2 72 12+7x+x2 The -4 하 = 1 -7 ± √72-4-(-60) 2 = −7+17 2 72= 12+7x+x² 1-17 7x+x² = 60 x² +7x-60 =0 1.(12+7x+x²) r (-60 4 lne? W 4. гид & 2. Zug X₂₁₂ = -12 x₂ = 5 A: Es sind 5 rote Kugeln, da die Anzahl der Kugeln nicht negativ sein kann r Nr.4 3 Schwarze zwei rote eine grüne a) Beide Kugeln haben versch. Farben 6 30 P(E)= 1-1(E) = + PA BA S S s دلہ 9 ड) 1 - ( 1 · ² + 3 ⋅ 1 ) 1. b) Die zweite Kugel ist schwarz oder grün — TIM un c) U2: 3 rote, 2 grüne 9 43= 1schwarze Aus un kein grün aber aus Uz grün P(E) = 1 · ² + 1 · 1 + 1 · 3 + 1 · 1² + 4 · 3 2 5 200-3/20 +3 30 1 9 = Wladh → ohne Zurücklegen r Aus Un eine Kugel in U2: Aus U2 eine Kugel in U3 P(E) = 5.² + 1.1 5 = Aus un grün und Uz grün Gegenereignis: Beide gleiche Farbe 1- ( ² + 1 ) = 5 1 · 1 + 1 · ² = ²/² + 1 + 1 + 1 + 2 궁금 5 5 10+1 L 13 12 30 36 15 r Mr.S Paewo = 1/ ५ al n = 40 Pschwarz b) n=3 6 40 X: Amal Ergebnis Schwarz X ist Buo, &- verteilt = P(X = 20) = 1-PCX ≤ 19) = 0,9256 min r A: Die wk, dass 20-mal schwarz erscheint, beträgt ca. 92,56%. ® E(X) = μ = n⋅p = 24 Höchstens 20% Absweichung: 19,2-28,8 P(20≤x≤28) = P(X ≤ 28) - P(K≤ 49) = 0,8547 a Einsatz: a = ? Pael = 0,4 рдесь g: Gewinn g(€)| S-a 15-a ha PCX=g) 0,288 0,064 0,648 E(X)=(5-a). 0,288 +0,064. (15-a) +0,648-(-a) - 15.12.20 E(x1=0 (5-a). 0,288 +0,064- (15-a) - 0,648a = 0 1,44-0,288a +0,96-0₁064a- 0,648=0| 1-2,4 -2,4 (.(-4) a A: Die WK, dass die Anzahl der schwarzen Treffer um höchstens 20% vom Erwartungs- wert abweicht, beträgt ca. 85,47%. WK 2-mmd geld X: Anzahl gelb Xist B3:04-vertailt P(X=2) = 0,288 P(X=3) = 0,064 a=2₁48 A: Damit das Spiel fair ist, muss der Einsatz 2,40€ betragen. 515 2 Nr. 6 Pur- 0₁ 15 Puz=0₁1 a) n=120 X. Anzahl Gäste mit Menu 1 Xist B₁z0; 0,15 - verteilt A: Mit 8,57% WK nehmen genau PCX = 20) = 0,0857 - 857% 20 Gäste Menti un. B X: Anzahl Gäste veg. Menie X ist B₁20; 0₁25 - verteilt P(25< X < 40) = P(X ≤39) - P(X ≤25) * 0,8031 A: Mit ca. 80,31% WK nehmen zwischen 25 und 40 Gäste ein veg. Menu. Die ersten 10 fleischhaltig und insg. 25 vegetarische Menas P(C) = 0,75 1⁰ • P(X=25) = 0,0028 = 0₁ 28% A: Mit einer WK von ca. 0,28% nehmen die X immernoch B₁2010,25- verteilt (Anzahl veg. Menüs) ersten 10 ein fluisch- haltiges und insgesamt. 25 Gäste ein veg. Menui. 6) 1-0,75 10 -10.0,75⁹-0,25 Zufallsexperiment: 10 Gäste kommen in das Restaurant und bestellen mit einer WK von 25% ein vegetarischer Gericht und mit einer WK von 75% ein Menie mit Ereignis: Es wählen von 10 Gästen weniger als I ein fleischhaltiges Gericht Fleisch. C) 50 Meniis M₁ n=? ks 50 Gäste mit X. Anzahl veg. Gerichte M wird gewähntt) p=0,75 P(X<50) 20,95 /P(X≤50) 3,9647 0,9578 0,9526 0,95 = n = 270 0,9499 n 265 268 270 271 A: Es dürfen max. / höchstens 270 Gäste kommen. r d} Ho Hai x = 5% p= 0,1 Linksseitig реал X: Anzahl Gäste, die nicht mehr kommen. n= 200 Bei wahrer Milihypothese ist X binomialverteil mit Broocan- P(X=g) ≤0,05 r PCX ≤g) 0,0080 0,0320 00566 g 10 12 13 Ã = { 0; 1;... 123 i → <0,05⇒g ≤ 12 Entscheidungsregel: Wenn maximal 12 Personen, die befragt wurden nicht mehr kommen würden, so wird Ho verworfen und H₂ angenommen. f Für welchen der Fälle kanin WK des Eintretens mit obigern Test auf 5% begrenzt werden? A: Nur der Fehler 1. Art I cann kallculiert und damit begrenzt worden. Das bedeutet, dass Ho verworfen wird, obwohl Ho stimmt. Mit dem origem linksseitigen Test kann also der Fehler 1. Art berechnet/ begrenzt werden, dass der Lärmschutz nicht errichtet wird, obwohl min. 10% der Gäste nicht mehr kommen würden. Das Eintreten des 2. Falls (11.) kann also begrenzt werden, durch den dem Restaurant Einnahmen entgehen würden. Der 1. Fall (Felder 2. Art) kann nicht e) Ja, da dann Ho verworfen wird. Dennoch kann Ho stimmen. Diesen Fall, also der Fehler 1. Art, wird jedoch auf 5% begrenzt aber nicht mit (Signifikanzniveau). Die WK, dass man sich beim Verwerfen von Ho uouer wi! Даз салл ша int, wenn das Umfrageergebnis im Ablehnungsbereich liegt, liegt also nicht sagen! Man kann also unter 5%. In dem Fall ist der Fehler 1. Art: P(X6~12) = 3,2%. nicht sagen w Deshalb trifft bel einem Ergebnis im Ablehnungsbereich die Nullhypothese welder whe sie kalkuliert werden. [ wahrscheinlich nicht zu. Jalud ist. 12/13 17/18