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Aktualisiert Apr 6, 2026
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Einführung in trigonometrische Funktionen – Sinus und Kosinus erklärt
Majd Alasmar
@majd.rls
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Grundlagen: Bogenmaß, Gradmaß und Einheitskreis
Im rechtwinkligen Dreieck entstehen bei gleichem Winkel α immer die gleichen Verhältnisse: sin α = Gegenkathete/Hypotenuse, cos α = Ankathete/Hypotenuse und tan α = Gegenkathete/Ankathete. Diese Zusammenhänge bilden die Basis für trigonometrische Funktionen.
In der Mathematik arbeiten wir mit dem Bogenmaß statt dem Gradmaß. Im Einheitskreis entspricht der Winkel dem Bogenstück auf dem Kreisumfang. So wird aus dem gewohnten Vollwinkel von 360° der Wert 2π im Bogenmaß. Die Umrechnung funktioniert ganz einfach mit der Formel x = (π/180) · α.
Für jeden Punkt P(u,v) auf dem Einheitskreis gilt: Die x-Koordinate u entspricht dem Kosinus des zugehörigen Winkels, die y-Koordinate v entspricht dem Sinus. So können wir die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel definieren – auch für Winkel größer als 90° oder negative Winkel.
💡 Merke dir: Bei trigonometrischen Funktionen wiederholen sich die Werte nach 2π (oder 360°). Diese Eigenschaft nennt man Periodizität und ist der Grund, warum sich Sinus und Kosinus so gut zur Beschreibung von Kreisläufen eignen.
Eigenschaften von Sinus- und Kosinusfunktion
Die Sinusfunktion und Kosinusfunktion wiederholen sich alle 2π (oder 360°). Sie unterscheiden sich nur durch eine Verschiebung - der Kosinus ist nichts anderes als ein um π/2 nach links verschobener Sinus.
Beide Funktionen schwingen zwischen den Extremwerten +1 und -1. Präge dir die wichtigsten Werte ein:
- Bei x = 0 ist sin(x) = 0 und cos(x) = 1
- Bei x = π/2 ist sin(x) = 1 und cos(x) = 0
- Bei x = π ist sin(x) = 0 und cos(x) = -1
- Bei x = 3π/2 ist sin(x) = -1 und cos(x) = 0
Mit der Funktionsgleichung f(x) = a · sin + d kannst du die Grundform der Sinusfunktion verändern:
- a ist die Amplitude - sie bestimmt, wie stark die Funktion ausschlägt
- b beeinflusst die Wellenlänge - größere Werte stauchen die Funktion
- c bewirkt eine Phasenverschiebung nach rechts oder links
- d verschiebt die gesamte Funktion nach oben oder unten
💡 Tipp: Du kannst dir die Beziehung zwischen Sinus und Kosinus leicht merken: cos(x) = sin. Der Kosinus ist also die Ableitung der Sinusfunktion!
Anwendung und Ableitungen trigonometrischer Funktionen
Anhand konkreter Funktionsgraphen kannst du die Parameter a, b, c und d bestimmen:
- a berechnest du als : 2
- b entspricht 2π geteilt durch die Periodenlänge
- c ist der x-Wert des Wendepunkts
- d ist der y-Wert des Wendepunkts
Bei Ableitungen trigonometrischer Funktionen entsteht ein interessanter Kreislauf: Leitet man die Sinusfunktion viermal ab, erhält man wieder die Ausgangsfunktion. Die erste Ableitung von sin(x) ist cos(x), die zweite -sin(x), die dritte -cos(x) und die vierte wieder sin(x).
Für Ableitungen trigonometrischer Funktionen gelten die üblichen Regeln:
- Potenzregel: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
- Konstantenregel: ' = g'(x)
- Faktorregel: (a·g(x))' = a·g'(x)
- Summenregel: ' = g'(x) + h'(x)
💡 Prüfungstipp: Lerne die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus auswendig: (sin(x))' = cos(x) und (cos(x))' = -sin(x). Bei komplexeren Ausdrücken wie sin musst du zusätzlich die Kettenregel beachten!
Wir dachten schon, du fragst nie...
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
iOS-Nutzer
DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
Stefan S
iOS-Nutzer
Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
Android-Nutzerin
Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
iOS-Nutzerin
Beste App der Welt! Keine Worte, weil sie einfach zu gut ist
Thomas R
iOS-Nutzer
Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
Android-Nutzer
Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
iOS-Nutzer
Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
Android-Nutzerin
In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
Android-Nutzerin
sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
Android-Nutzer
Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
iOS-Nutzer
Diese App ist echt der Hammer. Ich finde Lernen so langweilig, aber diese App macht es so einfach, alles zu organisieren und dann kannst du die kostenlose KI bitten, dich abzufragen, so gut, und du kannst einfach deine eigenen Sachen hochladen. sehr empfehlenswert als jemand, der gerade Probeklausuren schreibt
Paul T
iOS-Nutzer
Einführung in trigonometrische Funktionen – Sinus und Kosinus erklärt
Majd Alasmar
@majd.rls
Trigonometrische Funktionen sind die mathematische Grundlage zur Beschreibung periodischer Vorgänge in unserer Welt. Besonders Sinus- und Kosinusfunktionen ermöglichen es uns, wiederholende Abläufe wie Schwingungen, Wellen oder Kreisbewegungen präzise darzustellen und zu analysieren.
Grundlagen: Bogenmaß, Gradmaß und Einheitskreis
Im rechtwinkligen Dreieck entstehen bei gleichem Winkel α immer die gleichen Verhältnisse: sin α = Gegenkathete/Hypotenuse, cos α = Ankathete/Hypotenuse und tan α = Gegenkathete/Ankathete. Diese Zusammenhänge bilden die Basis für trigonometrische Funktionen.
In der Mathematik arbeiten wir mit dem Bogenmaß statt dem Gradmaß. Im Einheitskreis entspricht der Winkel dem Bogenstück auf dem Kreisumfang. So wird aus dem gewohnten Vollwinkel von 360° der Wert 2π im Bogenmaß. Die Umrechnung funktioniert ganz einfach mit der Formel x = (π/180) · α.
Für jeden Punkt P(u,v) auf dem Einheitskreis gilt: Die x-Koordinate u entspricht dem Kosinus des zugehörigen Winkels, die y-Koordinate v entspricht dem Sinus. So können wir die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel definieren – auch für Winkel größer als 90° oder negative Winkel.
💡 Merke dir: Bei trigonometrischen Funktionen wiederholen sich die Werte nach 2π (oder 360°). Diese Eigenschaft nennt man Periodizität und ist der Grund, warum sich Sinus und Kosinus so gut zur Beschreibung von Kreisläufen eignen.
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Eigenschaften von Sinus- und Kosinusfunktion
Die Sinusfunktion und Kosinusfunktion wiederholen sich alle 2π (oder 360°). Sie unterscheiden sich nur durch eine Verschiebung - der Kosinus ist nichts anderes als ein um π/2 nach links verschobener Sinus.
Beide Funktionen schwingen zwischen den Extremwerten +1 und -1. Präge dir die wichtigsten Werte ein:
- Bei x = 0 ist sin(x) = 0 und cos(x) = 1
- Bei x = π/2 ist sin(x) = 1 und cos(x) = 0
- Bei x = π ist sin(x) = 0 und cos(x) = -1
- Bei x = 3π/2 ist sin(x) = -1 und cos(x) = 0
Mit der Funktionsgleichung f(x) = a · sin + d kannst du die Grundform der Sinusfunktion verändern:
- a ist die Amplitude - sie bestimmt, wie stark die Funktion ausschlägt
- b beeinflusst die Wellenlänge - größere Werte stauchen die Funktion
- c bewirkt eine Phasenverschiebung nach rechts oder links
- d verschiebt die gesamte Funktion nach oben oder unten
💡 Tipp: Du kannst dir die Beziehung zwischen Sinus und Kosinus leicht merken: cos(x) = sin. Der Kosinus ist also die Ableitung der Sinusfunktion!
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Anwendung und Ableitungen trigonometrischer Funktionen
Anhand konkreter Funktionsgraphen kannst du die Parameter a, b, c und d bestimmen:
- a berechnest du als : 2
- b entspricht 2π geteilt durch die Periodenlänge
- c ist der x-Wert des Wendepunkts
- d ist der y-Wert des Wendepunkts
Bei Ableitungen trigonometrischer Funktionen entsteht ein interessanter Kreislauf: Leitet man die Sinusfunktion viermal ab, erhält man wieder die Ausgangsfunktion. Die erste Ableitung von sin(x) ist cos(x), die zweite -sin(x), die dritte -cos(x) und die vierte wieder sin(x).
Für Ableitungen trigonometrischer Funktionen gelten die üblichen Regeln:
- Potenzregel: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
- Konstantenregel: ' = g'(x)
- Faktorregel: (a·g(x))' = a·g'(x)
- Summenregel: ' = g'(x) + h'(x)
💡 Prüfungstipp: Lerne die Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus auswendig: (sin(x))' = cos(x) und (cos(x))' = -sin(x). Bei komplexeren Ausdrücken wie sin musst du zusätzlich die Kettenregel beachten!
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Stefan S
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
Samantha Klich
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Thomas R
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Einfach genial. Lässt mich 10x besser lernen, diese App ist eine glatte 10/10. Ich empfehle sie jedem. Ich kann Lernzettel anschauen und suchen. Ich kann sie im Fachordner speichern. Ich kann sie jederzeit wiederholen, wenn ich zurückkomme. Wenn du diese App noch nicht ausprobiert hast, verpasst du wirklich was.
Basil
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
David K
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Die App ist einfach super! Ich muss nur das Thema in die Suche eingeben und bekomme sofort eine Antwort. Ich muss nicht mehr 10 YouTube-Videos schauen, um etwas zu verstehen, und spare dadurch richtig viel Zeit. Sehr empfehlenswert!
Sudenaz Ocak
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In der Schule war ich echt schlecht in Mathe, aber dank der App bin ich jetzt besser geworden. Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.
Greenlight Bonnie
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sehr zuverlässige App, um deine Ideen in Mathe, Englisch und anderen verwandten Themen zu verbessern. bitte nutze diese App, wenn du in bestimmten Bereichen Schwierigkeiten hast, diese App ist dafür der Schlüssel. wünschte, ich hätte früher eine Bewertung geschrieben. und sie ist auch kostenlos, also mach dir darüber keine Sorgen.
Rohan U
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Ich weiß, dass viele Apps gefälschte Accounts nutzen, um ihre Bewertungen zu pushen, aber diese App verdient das alles. Ursprünglich hatte ich eine 4 in meinen Englisch-Klausuren und dieses Mal habe ich eine 2 bekommen. Ich wusste erst drei Tage vor der Klausur von dieser App und sie hat mir SEHR geholfen. Bitte vertrau mir wirklich und nutze sie, denn ich bin sicher, dass auch du Fortschritte sehen wirst.
Xander S
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DIE QUIZZE UND KARTEIKARTEN SIND SO NÜTZLICH UND ICH LIEBE Knowunity KI. ES IST AUCH BUCHSTÄBLICH WIE CHATGPT ABER SCHLAUER!! HAT MIR AUCH BEI MEINEN MASCARA-PROBLEMEN GEHOLFEN!! SOWIE BEI MEINEN ECHTEN FÄCHERN! NATÜRLICH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Elisha
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Paul T
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Die App ist sehr einfach zu bedienen und gut gestaltet. Ich habe bisher alles gefunden, wonach ich gesucht habe, und konnte viel aus den Präsentationen lernen! Ich werde die App definitiv für ein Schulprojekt nutzen! Und natürlich hilft sie auch sehr als Inspiration.
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Diese App ist wirklich super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen [...]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat so viele Möglichkeiten zur Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde sie jedem empfehlen.
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Wow, ich bin wirklich begeistert. Ich habe die App einfach mal ausprobiert, weil ich sie schon oft beworben gesehen habe und war absolut beeindruckt. Diese App ist DIE HILFE, die man für die Schule braucht und vor allem bietet sie so viele Dinge wie Übungen und Lernzettel, die mir persönlich SEHR geholfen haben.
Anna
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Diese App hat mich so viel selbstbewusster in meiner Klausurvorbereitung gemacht, nicht nur durch die Stärkung meines Selbstvertrauens durch die Features, die es dir ermöglichen, dich mit anderen zu vernetzen und dich weniger allein zu fühlen, sondern auch durch die Art, wie die App selbst darauf ausgerichtet ist, dass du dich besser fühlst. Sie ist einfach zu bedienen, macht Spaß und hilft jedem, der in irgendeiner Weise Schwierigkeiten hat.
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