Alternativer Bildtext:

anders angegeben, immer auf zwei Nachkommastellen! Aufgabe 4: Gegeben sind die Punkte A(-3|2|1) und B(4|5|-4). a) Die Punkte A und B liegen auf der Geraden g. Bestimmen Sie eine Parameterform der Geraden g. 3. Klausur-Teil mit Hilfsmitteln -10 -1 +t-1,5 6 2,5 d) e) -3 Gegeben ist weiter die Ebene E: x = Hinweis: Falls Sie keine Parameterform der Geraden g aufstellen konnten, benutzen Sie für die folgenden Aufgaben die Geradengleichung -3,5 g: x = ✓ b) Überprüfen Sie, ob der Punkt P(2,614,41-3) auf der Geraden g liegt. Begründen Sie gegebenenfalls, ob der Punkt P auch auf der Strecke AB liegt. c) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und der Geraden 9 9,5 + h: x = Bestimmen Sie, falls vorhanden, auch die Koordinaten des Schnittpunkts S. (4,5) 6,5 + 0 Datum: 25.03.2019 Lehrer: HGN -0,5 2,5 3 Zeit: maximal 09:40 Uhr +S (2P+5P+7P + 5P+6P) = 25P 1,5 Überprüfen Sie, ob der Punkt Q(-0,5|14,5|15) in der Ebene E liegt. Untersuchen Sie die gegenseitige relative Lage von g und E. Bestimmen Sie, falls vorhanden, auch die Koordinaten des Schnittpunkts S. Viel Erfolg!!! Name: Ash Aufgabe 5: (4P + 3P + 4P + 3P + 8P + 4P) = 26P Das U-Boot ,,U1" befindet sich um 6:00 Uhr in dem Punkt A(-5|4|-0,3) und um 7:00 Uhr im Punkt B (5|30|-0,35). Das U-Boot bewegt sich geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit. Eine Längeneinheit entspricht 1 km. Die Wasseroberfläche wird durch die X₁-X2-Ebene modelliert. Aydın a) Bestimmen Sie eine Parametergleichung einer Geraden g, die die Bewegung des U-BootsU1" unter Wasser modelliert. Begründen Sie, ob das U-Boot absinkt oder aufsteigt. b) c) Kontrollergebnis: g: x - f) (13)+1( -0,3/ 10 26 -0,05/ Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, mit der sich das U-Boot fortbewegt. Bestimmen Sie, in welchem Punkt sich das U-Boot um 8:30 Uhr und um 9:00 Uhr befindet. Kontrollergebnis: P9:00 Uhr (25|82|-0,45) 25 30 Zum Auftauchen ändert das U-Boot ,,U1" um 9:00 Uhr seinen Kurs. Die Bewegung des U-Boots ,,U1" lässt sich nun durch die Geradengleichung gneu: : Hierbei gibt t die Zeit in Stunden nach 9:00 Uhr an. 82 ++ +t 15 modellieren. 0,1. -0,45/ Zur gleichen Zeit bewegt sich das U-Boot ,,U2" unter Wasser fort. Die Bewegung des U-Boots ,,U2" -12) 115 202 +r-36 modelliert werden. -0,25, Hierbei gibt r die Zeit in Stunden nach 9:00 Uhr an. 0 kann durch die Geradengleichung h: = d) Ermitteln Sie den Abstand zwischen den U-Booten ,,U1" und „U2" um 9:00 Uhr. V e) Untersuchen Sie, ob sich die U-Boote ,,U1" und ,,U2" auf Kollisionskurs befinden. Begründen Sie gegebenenfalls, ob es tatsächlich zur Kollision kommt. Bestimmen Sie die Uhrzeit, an dem das U-Boot ,,U1" die Wasseroberfläche erreicht. Geben Sie auch die Koordinaten des Punkts Q an, an dem sich das U-Boot dann befindet." Name: Asle Aydın Aufgabe 6: Gegeben sind die Punkte A(1|1|0), B(1|6|0), C(-31910), D(-3|4|0), E(0|3|2), F(0|5,512) und H(-214,5|2) des Pyramidenstumpfs ABCDEFGH. Die Grundfläche ABCD ist eine Raute. Eine Längeneinheit entspricht 1 cm. Die Höhe des Pyramidenstumpfs beträgt 2 cm. Kontrollergebnis: VABCDEFGH≈ 22,62 cm³ c) d) E: x= A a) Bestimmen Sie die Länge der Diagonalen AC und BD der Grundfläche ABCD. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Grundfläche ABCD. Kontrollergebnis: AABCD = 20 cm² b) Berechnen Sie das Volumen des Pyramidenstumpfs ABCDEFGH. Sie dürfen ohne Nachweis verwenden, dass für den Flächeninhalt der Deckfläche EFGH gilt: AEFGH = 2√√5 cm² . = (6P+3P+10P+4P +3P + 7P) = 33P is 2 E Ermitteln Sie die Koordinaten der imaginären Pyramidenspitze S. Die Höhe der Pyramide ABCDS beträgt 4 cm. Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS und geben Sie den prozentualen Anteil des Pyramidenstumpfs ABCDEFGH am Volumen der Pyramide ABCDS an. e) Bestimmen Sie eine Parametergleichung der Ebene E, in der die Deckfläche EFGH liegt. 0 1,5 +s -2,5 weiter. D Hinweis: Falls sie keine Parameterform der Ebene E aufstellen konnten, benutzen Sie für die folgende Aufgabe die Ebenengleichung 2 +r. +- (-₁5)+ F B f) Im Punkt P(11|17|4) steht ein Laser, der in Richtung des Vektors v = -3 -3 leuchtet. -0,5/ Bestimmen Sie den Schnittpunkt des Lasers mit der Ebene E und begründen Sie, ob die Deckfläche EFGH von dem Laser getroffen wird. Matheklausur 3 i HQN hilfsmittelfreier Teil Aufgabe 1) G) A (11-3/2), B(3/1/2), C (1) 2/2), €(1)-3)6) B C² = ( ² = ² ) = (?) OD = 10A + B C ✓ (00³ - 1 0 4 ) = (- 1 ) - ( ² ) - ( ¹² ) - ) D (-11-2(2)✓ - + 32 Đ OP-TOBAG Pett of Jos ( ) ( ) ( ) 31 (31-576) OG² = 1 OC+ AE V te= ( tul OG²=10C = ( t 2² ) ₂ ( 8 ) = (-4)=) 6 (11-416) +AB +3 6).73² - (25)) (3) ✓ b) (建设) = 2-2 4. ( 3 ) = ( 2 ) =) M( 1(210) ( 2 Aufgabe (2) Kollinearitat C I ALS: ; I: 3₁ = -9 15 = 3 Th: Da ·U -) ₁. (-²³²) = (²) ✓ Aslı Aydin 22.03. 2 5 r = - √ kollines. 1r = - 3 r = -3 r=-3 den selben Wert hat, A 15 bitte auf eines Korrekte Schreibweise. OM ₁² = OA² + ₁₂ AB²³² AB- 4 Bei solchen Rechnungen der Ortsverti essensiell! sind sie ist Hagenah MQ1 G NATTE: Asle Aydin Name: Die Lösung ist eine Modelllösung. Das bedeutet, dass auch andere richtige Lösungsideen mit entsprechender Punktzahl bewertet werden. Aufgabe a) Erwartungshorizont und Punkteverteilung der 3. Klausur b) OD = OA + BC = Modelllösung - ()-(-)- 0-0-0) (¹) + 0)-(-) » MARI OG=OC+ AE = Summe Aufgabe 1 b) OMAB=OA+ AB = a) Ansatz: r = Wr. Summe Aufgabe 2 a) 1: 3r = -9 II: -1r 3 III: 5r= -15 3 X2- 2- AC=0-4 → Die Vektoren sind kollinear. b) Die Vektoren sind offensichtlich kollinear (r= -1), daher sind die Geraden parallel zueinander. Da der Stützvektor der Geraden gleich ist, besitzen diese einen gemeinsamen Punkt. Es lässt sich schlussfolgern, dass die Geraden identisch sind. 1: r = -3 II: r = -3 III: r = -3 x₂ -2D(-11-212) -2 →G(1|2|6) B -1 MB (21-112) A olhadow us fot2 berjono AB=1-4 =-3 → |AB| = √(-4)² + (-3)² + (0)² = 5 0-0 Erreichte Punktzahl 0 -4 |AC| = √(0)² + (-4)² + (3)² = 5 → - 3 F 2 Maximale Punktzahl 3 7 4 4 8 3 d) -1)→ |BC| = √(4)² + (-1)² + (3)² = √26 A: Da die Seiten AB und AC gleich lang sind, handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck. Es handelt sich um kein gleichseitiges Dreieck, da |AB| = |BC|. a) BC = b) 0 Aus a) wissen wir: AB=-3, AC = -4 3 0-1 3-0 E: * = OA + r AB + s AC = 4+r-3 +S Summe Aufgabe 3 (-)-(-)-(3) +r 1: II: [III: -2 r-3+S4= -3,5 1,5, Gesamtpunktzahl Hilfsmittelfreier Teil" Aus I folgt: -4r=-2 r = 0,5 T= 0,5 in II: -1,5 - 4s=-3,5-4s=-2 ⇒ s = 0,5. Probe: r = 0,5 und s = 0,5 in III: 0 0,5+3 0,5 = 1,5 (4-(-3) AB = 5-2 t 0 3 -4r +0s= -2-18 B -3r-4s= -3,5 Or + 3s = 1,5]ips met Der Punkt P liegt also in der Ebene E. Da die drei Bedingungen Osr=0,5≤ 1,0 ≤s = 0,5 ≤ 1 und 0 sr+s=0,5+0,5=1 ≤ 1 erfüllt sind, liegt der Punkt auch im Dreieck ABC. = 0,5 (1)-(-)- +t. = 4,4 1,5/ 3g: 2 -4-1 \-5/ 2,6 +t. -40 3 7t 3t -5t + 5r P(2,614,41-3) liegt auf g und auf der Strecke AB, da die Bedingung Ost=0,8 s1 erfüllt ist. c) Sind g und h parallel? 7t=-7 t = -1 -33t = -3 t= -1 →g #h -5t= -5 t = 1 Schneiden sich g und h in einem Punkt S? t = 0,8 -3+7t=2,6 2 + 3t = 4,4 t = 0,8 1-5t=-3 t = 0,8 9,5 +r -3 +7r+ Oz = 12 + +3r 0z = 7,5 +0z = -6 7 +t. 3 GTR liefert: keine Lösung → Die Geraden sind windschief zueinander 6 18 22 32 2 5 8 3 8 25 40 2 5 4 d) e) b) 4,5 6,5 +r. c) d) 4,5 6,5 +r. 0 Summe Aufgabe 4 a) AB = -0,5 2,5 3 -0,5r 2,5r 1,5s 1s + 1,5s 3r Der GTR liefert: r = 4, s=2 A: Der Punkt Q(-0,5 14,5|15) liegt in E. -0,5 2,5 3 g: x= +S GTR liefert: r=-1; s=-4 ; t = 2 11: -0,5r - 1,5s - 7t= -7,5 2,5T 1s - 3t = -4,5 3r + 1,5s + 5t= 1 OP8:30 = OS = 2 +2 38S(11181-9) 4 -0,3/ +5 A: g und E schneiden sich im Punkte S(11181-9). 5-(-5) 30-4 G-G -1 1,5 -1,5 -0,5 +t 1,5 ····() -1 +t. 1,5 + Oz = -5 = + Oz 8 +0z = 15 -5 14,5 15 10 26 -0,05/ Da die dritte Koordinate des Richtungsvektors negativ ist, sinkt das U-Boot ab. Pa 30(201691-0,425) 115-25 202-82 10 26 =√(10)² + (26)² + (-0,05)2 = 27,86 [km/h] A: Das U-Boot bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von circa 27,86 km/h fort. -5 10 4 +2,5 26 -0,3/ 10 26 10 ()-(.*)-(2) -0,05/ OP 9:00 = 4 +3 26 20 69 -0,05/ -0,425/ 25 82 -0,3/ →P900(251821-0,45) Gesucht ist der Abstand zwischen den Stützpunkten der Geraden Bneu und h. -0,45/ 90 120 = √(90)² + (120)² + (0,2)² 0,2 = 150,00 [km] A: Die U-Boote sind um 9:00 Uhr circa 150 km voneinander entfernt. 25 2 4 3 5 25 4 4 5 e) 6 f) Ansatz: greu=hb gallons 25 82 +t -0,45/ 0,1/ 30t + 12r + 0z = 90 15t +36r + Oz = 120 0,1t + Or + Oz = 0,2 GTR liefert: t = 2; r = 2,5 A: Die Kurse der beiden U-Boote kreuzen sich in einem Punkt S. Das U-Boot ,,U1" erreicht diesen Punkt P aber um 11:00 Uhr (t = 2), das U-Boot ,,U2" hingegen erst um 11:30 (r = 2,5). Somit kommt es zu keiner Kollision der beiden U-Boote. 25 82 +t. -0,45) Summe Aufgabe 5 30 15 = Die Wasseroberfläche wird durch die X₁/X2-Ebene modelliert. D.h. das U-Boot erreicht die Wasseroberfläche in dem Punkt Z(a|b|0). a) AC= Aus III folgt: -0,45 +0,1t = 0⇒ t = 4,5 25 30 82 +4,5- 15 = -0,45/ 0,1/ BD = nu onu -12 ) + r. (-35) 115 202 -0,25/ 30 -(5)-() 15 = 0.1 A: Das U-Boot erreicht um 13:30 Uhr (t = 4,5) im Punkt Q(1601149,510) die Wasseroberfläche. = 1 9-1 8|AC| = √(-4)² + (8)² + (0)² = √80 0-0, -3-1 4-6 0-0/ -4 +t. 2 160 19,5 (-2)→|BD|= √(-4)² + (-2)² + (0)² = √20 A= |AC|-|BD|= √80 √/20 = 20 [cm³] A: Die Grundfläche besitzt einen Flächeninhalt von 20 cm². b) VABCDEFGH =2. (20+ √/20.2. √5 +2√5)22,62 [cm³] A: Das Volumen des Pyramidenstumpfes beträgt 22,62 cm³. c) S ist der Schnittpunkt der Geraden AE = g und BF = h AE = 3-1 = → →g: x= 0-1 BF = # F - (55-6)= (-25) → AC ² = (31) · ² · (-25) h: 2-0, 6+r -0,5 2 -1t + 1r + Oz = 0 2t + 0,5r + 0z = 2t 2r +0z = 0 +t. SP ausrechnen: 1+2. 2 = 2 5 GTR liefert: t = 2; r = 2 5S(-1/5/4) 3 4 24 6 8 26 4 6 3 10 6 d) VABCS= ·G.h= -20-4 = [cm³] A: Das Volumen der Pyramide ABCS beträgt cm³. 3 f) 22,62: = 0,8483 = 84,83% A: Der prozentuale Anteil des Volumens der Pyramidenstumpfes an der Pyramide ABCS beträgt circa 84,83 %. e) 0-0 -2-0 *P = ( 85 -³) - (25) -- (-45-3)-(13) EF= 5,5-3 23) 2,5; EH = 2-2 2- E: x = OE+T EF+s EH = 3+r(2,5 +s1,5) Blaser: 17+t. -3 -0,5/ Ansatz: glaser E +r. 2,5 +s 1,5 = 2s + 3t Or 2,5r + 1,5s +3t Or + Os + 0,5t = GTR liefert: r = 0,5; s = 0,5; t = 4 OS 17 +4 - 17 +t. Summe Aufgabe 6 Gesamtpunktzahl,,Teil mit GTR" 11 14 2 0 -3 -0,5/ » 5S(-11512) A: Der Laser trifft die Deckfläche EFGH, da die Bedingungen Osr=0,5 ≤ 1 und 0 ss = 0,5 ≤ 1 erfüllt sind. Der Schnittpunkt lautet S(-11512). 3 3 22 71 4 7 33 84 Summe ,,Hilfsmittelfreier Teil" Summe ,,Hilfsmittelfreier Teil" Ordnungspunkte Gesamtpunktzahl Die Klausur wird abschließend mit der Note: gut plus Essen, den 30.3.2021 Noten-Erreichte Punktzahl in Prozent Note Punkte % Note Punkte % 1+ 1 1- 15 14 13 100-95 94-90 89-85 3- 4+ 7 6 59-55 54-50 4 5 49-45 2+ 12 84-80 12 4- 4 44-40 P. Hagenah P.Hagenal 2 11 79-75 5+ 3 39-35 Punkte) bewertet. 2- 10 74-70 32 71 6 Hog 5 2 34-25 3+ 9 69-65 5- 1 25-20 3 8 64-60 6 0 <20 40 84 130