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Folgen,Beschränktheit,Monotonie,Grenzwerte,Grenzwertsätze
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Kiazu
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Was ist eine Folge? reele Zahlen Eine Folge ist eine Abbildung von IN - IR die jeder natürlichen Zahl n genau eine reele Zahl zuordnet. natürliche Zahlen Die Folgenwerte werden mit an bezeichnet und heißen Folgenglieder; n ist die Platznummer Man unterscheidet: rekursive Darstellung: An+1 = a₁ + a₁ = 1 Anfangsglied a → Startwert (n+1) explizite Darstellung: an = n(n+1) an=" 2 geometrische Folge: an =a₂ qn arithmetische Folge: An = ao+d.n Folgen ✓ Für alle Beispiel: a1 = 1:an + 1 = 2+ an an+1=2+an → verschiedene Zahlenfolgen einsetzen a1+1=2+(an) 1 = 3 ↓ a2=3 s 92 +1=2+3=5 a3=5 Beispiel: an = ² 2n n₁ = 1 n₂=2 n3 = 3 Grenzwert- konvergent Kein Grenzwert divergent K Eine Folge an, die gegen O konvergiert, heißt Nullfolge Formal: V₂>0} n {N: lan-gl< ↓ existiert a1 = so dass gilt a2 = 봄 2 L/L JL a3 = Konvergenz/ Divergenz Eine Zahl g heißt Grenzwert einer Folge (an), wenn es für alle > ein nε EN gibt, sodass |an-g|< E. Man schreibt: lim an = g n→∞ } 음 ↳₂ (an) = (²/²3 ; 1/12 ₁ / 1 ...) Erste Zahlenfolge Zweite Zahlenfolge Beschränktheit Eine Folge (an) heißt nach oben beschränkt, wenn an ≤ S gilt. Sheißt obere Schranke Eine Folge (an) heißt nach unten beschränkt, wenn an ≥ s gilt. s heißt untere Schranke Monotonie Eine Folge (an) heißt - streng monoton fallend, wenn stets gilt an+1 < an - monoton fallend, wenn stets gilt an+1≤an - streng monoton steigend, wenn stets gilt an+1 >an - monoton steigend, wenn stets...
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gilt an+12 an Grenzwert Eine Zahl g heißt Grenzwert der Folge (an), wenn fast alle Folgenglieder innerhalb eines sehr geringen Abstands von g liegen: lan=g|< & ! Eine Konvergente Folge hat genau einen Grenzwert! Grenzwertsätze Beispiel: Grenzwerte können mithilfe von Grenzwertsätzen herausgefunden werden. Vorraussetzung: (an) und (bn) sind konvergente Folgen mit den Grenzwerten a und b Folgerungen: (an + bn ) und (n) sind ebenfalls konvergente Folgen 1. an= lim an = 1+2n 1+n lim n→∞0 lim (1+2n). 1/ -n →∞⁰ (1+n) · 1/1/ Folgen 1+2n 1+n =lim (+2) 0044 =2 1+1 Epsilon eine Zahl, die beliebig klein ist 2. an = liman = 3+1+1 4+3" = lim n→∞o lim -n→∞ lim n →∞0 3+1+1 4+3" lim =n→∞ 3.3+1 4+3" Ist eine Folge (an) monoton steigend und nach oben beschränkt, so konvergiert sie. Entsprechendes gilt für monoton fallend & nach unten beschränkt (3ñ·3+1). 3/1/² (4+3 ") · 31 3.3 3" 3n 4 3h 3" + + =n→∞0 4 3n || = lim 3+3 || lim n→ ∞03 + lim 4 n→00 3n 3+0 0+1 flow ساد 3 = +1 mall lim h→00 3n lim n→∞0 1
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