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Hypothesentest

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 Q3.4 HYPOTHESENTESTS
HYPOTHESEN
Bei einem Hypothesentest stehen sich widersprechende Behauptungen/Vermutungen (sog. Hypothesen)
gegenüber.

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Q3.4 HYPOTHESENTESTS HYPOTHESEN Bei einem Hypothesentest stehen sich widersprechende Behauptungen/Vermutungen (sog. Hypothesen) gegenüber. Meistens werden Hypothesen über die W'keit des Eintretens eines Ereignisses gemacht. ALTERNATIVTEST → bei einem statistischen Alternativtest stehen zwei konkrele Vermutungen zur Entscheidung → andere denkbaren Fälle kommen überhaupt nicht in Betracht : Hypothesen festlegen Hypothese o p=po : Hypothese ₁¹ p = P₁ : Entscheidungsregel: diese besagt, bei welchen Trefferzahlen in der Stichprobe welche der beiden Hypothesen angenommen werden sollen * >k → Entscheidung für Ho zwei Wahrscheinlichkeiten ( Entscheidungsregel sollte nicht willkürlich aufgestellt werden man bestimmt vorher ein Signifiganzniveu (2.13 5% oder 10%) 4 • gleich der Wahrscheinlichkeit einen α-Fehler zu begehen x ≤ k → Entscheidung für Ha Î Kritischer Wert: Anzahl von Treffern, bei der man Ho noch nicht ablehnt (→*k) Fehler 1. Art/a-Fehler: Nullhypothese wird zu Unrecht verworfen → Hy wird angenommen Fehler 2. Art/B-Fehler: Nullhypothese wird zu Unrecht beibehalten Ho wird angenommen. a-Fehler: • Entscheidung für H₂ Po: P(x≤k)=F(n; poik) = ... % ⇒zu.../ wird H₁ angenommen, obwohl Ho stimmt B-Fehler: Entscheidung für Ho P₁: P(x>k) = 1- F(n¡p₁; k) = ... % → zu... % wird Ho angenommen, obwohl H₁ stimmt Entscheidung für Ho Entscheidung für H₁ Ho stimmt ✓ a-Fehler На stimmt B-Fehler ✓ Beispiel: Ein Gärtner übernimmt einen Posten von großen Behältern mit Blumensamen. Der Inhalt einiger Behälter ist zu 70% keimfähig, der Inhalt der restlichen jedoch nur 40 %. Es ist aber nicht bekannt, um welchen Behälter ist sich jeweils handelt....

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Um diesen festzustellen, wird jedem Behälter eine Stichprobe von zehn Samen entnommen und einem Versuch unterzogen. Geht mehr als die Hälfte der Samen an, wird dem Samen im entsprechenden Behälter eine Keimfähigkeit von 70 % zugeordnet, andernfalls nur eine von 40 %. Geben Sie an welchen Fehler auftreten können und beschreiben Sie die Konsequenzen dieser Fehler und berechnen Sie mit welcher Wahrscheinlichkeit diese Fehler auftreten auftreten. Hypothese festlegen: Ho: p= 0,70 Entscheidungsregel: x-Fehler p=0₁7: P(x≤5) = F (10; 0,7; 5) = 15,02% ⇒ zu 15,02% wird der schlechte Behälter angenommen, obwohl es der gute Behälter ist B-Fehler: p=0,4² P(x>5)=1- P(x ≤5) = 1-F(10;0,4; 5) = 16,63% ⇒ zu 16,63% wird der gute Behälter angenommen, obwohl es der schlechte Behälter ist p= 0,7 Beispiel: Der Gärtner strebt an, dass ein Behälter mit Samen niedriger Keimfähigkeit (40%) mit nur geringer Wahrscheinlichkeit & irrtümlich eine hohe Keimfähigkeit (70%) zugeordnet wird. Wie muss er seine Entscheidungsregel abändern, damit a ≤ 5% gilt. guter Behälter H₂₁: p= 0,40 → schlechter Behälter X > 5 Ho wird angenommen x ≤ 5 → Hh wird angenommen. P(x ≤k) = F ( 10₁ 0₁7 ₁ k) ≤ 0,05 ↑ Ho stimmt Entscheidung für На n=10 p=0₁7 k TN3556 1 2 4 x = Anzahl an keimfähigen Samen P(xsk) 0,00019 0,0015 0,0105 0₁0473 α ≤ 0,05 0,1502 0,3503 Taschenrecher menu → 7 Kumul. Binom.Verteilung Liste SIKNIFIKANZ TEST (einseitiger Hypothesentest) Bei einem Signifikanztest hat man nur eine Wahrscheinlichkeit gegeben (anders als beim Alternativtest). Man hat eine bekannte W'keit Ho:p=po und geht der Vermutung nach, ob p₁ größer oder kleiner ist. Hypothesen festlegen. Hypothese: p=po → nur eine Wahrscheinlichkeit gegeben Hypothese pop₁/p²p₁ Beispiel: Ein Pharmahersteller hat ein neues Medikament gegen Schlaflosigkeit entwickelt. Das beste bereits auf dem Markt eingeführte Medikament mit vergleichbar geringe Nebenwirkungen zeigt in 50 % der Anwendungsfälle eine ausreichende Wirkung. Es wird vermutet, dass das neue Medikament noch besser ist. Diese Vermutung soll in einer Studie mit 50 Patienten getestet werden. Die Forscher sind vorsichtig und legen fest, dass die Hypothese nur dann angenommen werden soll, wenn das Medikament bei mehr als 30 Patienten ausreichen wirkt. Hypothesen festlegen: Ho' p = 0,50 H₁: p > 0,50 : Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dem Medikament eine bessere Wirkung als dem alten Medikament zugesprochen, wenn dieser Sachverhalt in Wirklichkeit gar nicht zutrifft? →wird angewandt, wenn vermutet wird, dass P₁ kleiner ist Ho⋅p=k На трск Entscheidung für H₁, obwohl Ho stimmt ⇒x-Fehler p²0₁5: P(x > 30 ) = 1- P(x > 30 ) = 1-F (50,0,5;30) = 1-0,94 P(x=k) Entscheidungsregel: x ≤ 30 X >30 Ablehnungsbereich von Ho FA Ho На links vom Erwartungswert M ⇒ Ho wird angenommen → H₁ wird angenommen LINKS-/RECHTSSEITIGER SIKNIFIKANZ TEST Der Signifikanztest hat zwei Variationen linksseitiger und rechtsseitiger Test Linksseitiger Signifikanztest: ДК : = 0,06 ≈ 6% bei Signifiganztests kann man den x-Fehler sicher berechnen, den ß-Fehler aber nur abschätzen Rechtsseitiger Signifikanztest wird angewandt, wenn vermutet wird, dass P₁ größer ist Ho: p=k P(x=k) Hipak Но Ablehnungsbereich von Ho На M rechts vom Erwartungswert ДК VERWERFUNGSBEREICH Der Verwerfungsbereich (auch Ablehnungsbereich) enthält alle Daten, bei denen der untersuchte Test sich für die Alternative (H₁) entscheidet bzw die Nullhypothese (Ho) ablehnt. Annahme- und Ablehnungsbereich von Ho: x = k→ Ho wird angenommen. x <k -> H₂ wird angenommen 0 Ablehnungsbereich к Annahmebereich Entscheidung für Ha Entscheidung für Ho Beispiel 1: Hans hat bei einem Würfel beschlossen, die Nullhypothese Ho: p² zu verwerfen, wenn die Zahl „6" in 100 Würfen mehr als 26 mal fällt. Hypothesen festlegen: Ho: p== / H₁:p>1/1 Entscheidungsregel: x≤ 26 = Ho wird angenommen x>26 H₂ wird angenommen X-Anzahl an Sechsen + 26 Kritische Zahl zählt noch zu Ho Situation: Hans hat bei seinem Experiment genau 26 ,,6er" geworfen. Welche Entscheidung trifft er? Annahmebereich Ablehnungsbereich 100 Hans trifft noch die Entscheidung für die Nullhypothese; er verwirft nicht Ho Signifikanzniveau: x=5% kritische Zahl: 8-1=7 Verwerfungsbereich V={8: 9:10] →Gina erkennt Bio Eier, wenn sie bei mindestens acht von zehn Eiern richtig liegt. Beispiel 2: Gina behauptet, dass sie Bio Eier geschmacklich von herkömmlichen Eiern unterscheiden kann. Ihre Mitbewohnerin glaubt ihr nicht und führt ein Test durch, bei dem Gina 10 zufällig ausgewählte Eier probieren und am Geschmack in Bio und nicht Bio ein ordnen muss. Geben Sie ein Verwerfungsbereich für Hop≤0,5 und -5% an. Hypothesen: Ho: p≤0,5 P(x2k) = 1-FL10;0,5;k) ≤0,05 Hap>0,5 100 k 5678 -187 - 1 9 1-P(x<k) 0,377 0,1718 0,0597 0,0108 ≤0,05 0,001

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