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Kurvendiskussion und Funktionsuntersuchung

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 Teil 1:
a)
Klausur Nr. 1 -
b)
c)
d)
e)
30 Minuten
Aufgabe 1: Ableitungen & Symmetrie
1. Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung.
2. Unter

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Teil 1: a) Klausur Nr. 1 - b) c) d) e) 30 Minuten Aufgabe 1: Ableitungen & Symmetrie 1. Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung. 2. Untersuchen Sie, ob die Funktion symmetrisch ist und wenn ja, begründen Sie welche Art der Funktionsuntersuchung/Kurvendiskussion f(t) = Als Hilfsmittel sind GTR/Taschenrechner und Formelsammlung erlaubt! ACHTE AUF SAUBERKEIT UND ORDNUNG BEIM SCHREIBEN! Symmetrie vorliegt. f(x) = 5x4 - 2x³ + 9x² - 4x + 10 ²/t5 - ²t³ + t 3 f(x) = (2+x)(x² – 3x) g(x) = 1/2+² / -5 x fa(x) = 4 a²x4-2ax² + a builstelle ohne GTR/Taschenrechner Sattelpunkt Aufgabe 2: Charakteristische Punkte & Monotonie 11,5/12 a) Markieren Sie ,,charakteristische Punkte" des Graphen im Koordinatensystem. Notieren Sie die mathematisch korrekten Fachbegriffe von mindestens drei Punkten und geben Sie die Koordinaten dieser drei Punkte an. b) Untersuchen Sie die Funktion hinsichtlich ihrer Monotonie, d.h. notieren Sie in welchen Intervallen die Kurvenschar monoton zunehmend oder monoton abnehmend ist. Extremstellen (a > 0) Hochpunkt Wendepunkt -Acisen-1 2 11,5/18 Wendepunkt Nuilsteile Tiefpunkt 1 MATHE KLAUSUR Aufgabe 1) 1.a) f(x) = 5x4-2x³ + 9x² - 4x+10 fi(x) = 20x³-6x² +18X-4 1/32 t ³ + t 3 2 fi(t) = 10+² - ³ 3/² +² + 1 = 2+² -16² +1 1.b) f(t) = ²² +5 1. c) f(x) = (2+x). (x²-3x) (x) = 4 2 x ² + 6x² + x³ + f'(x)=3x²+2 4 x 3 + 6 1.d) g(x) = ² + ³-5 9₁xx) = 0 2 x² = ₁ x ³ + 6 x ² + 6 x www 1. e) fa (x) = 4₂²x²...

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- 2ax² + a fax)=a²x3 +4₂x 16 21.09.2021 G (✓) ✓ f G 2a) Die Funktion f (x) = 5x² - 2x3 + 9x² - 4x+10 ist weder punktsymetrisch zum ursprung (010) nach achsensymmetrisch zur y-Achse, da als auch ungerade sowohl gerade Exponenten workommen. 2.b) Die Funktion f(t) = ²/3 +5 - 1/3 6²³ +6° ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse nach punktsymmetrisch zum ursprung, da hier ebenfalls ungerade und gerade Expo- 2.c) Die Funktion f(x)= (2+x). (x²-3x) = 6x² + x³ + 6x² ist ebenso hat ebenso keine symmetrie, aufgrund gerader und ungerader Exponennten. /55 ✓ f 1º 3° bzw. 2. d) Die Funktion g (+) = 22 +² -5° ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da nur gerade Exponenaten (xº) gårkeine Exponenten vorkommen und 0 eine Zahl ist. ✓ f gerade 2. e) fa (x) = 4₂²x4-2ax² +2° ist ebenso achsensymme- trisch zur y-Achse, aufgrund gerader Exponenten. 11 Aufgabe 2) a) 1. Der Graph besitzt zwei Nullstellen. Die erste Nullstelle liegt bei x₂=-2 undi die zweite bei x₂=4 Sie heißt Nullstelle da sie an der Punkt nur an der X-Achse schneidet x₂ = 4₁ also ×2 x₁ = -2₁ also (-210) (410) 2. Der Graph besitzt ebenso ein Extremstellen, d. A. jedoch alle dieser drei Punkte, also ein Hoch- und Tief- einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Dieser Graph hat Sattelpunkt ein dieser verlaufen so: • Hochpunkt HP (4,8 14,5) grove Schätzung ✓ • Tiefpunkt TPC Sattelpunkt a SPC-210) 3. Der Graph besitzt auch ein y-Achsenabschnitt bei b] ₁. I ∞ = (-∞; -2] =monoton zunehmend 2 1₁ ∞ = [= 2; 1,8] => monoton zunehmend 3. I∞0 - [118; 4] => monoton abnehmend 4. I ∞ = [4 ; ∞] =) monoton zunehmend ✓ ✓ VE 5,5 رکرا O 1 Teil 2: a) b) 105 Minuten Aufgabe 3: Sachaufgabe Bei der Einnahme eines Schmerzmittels wird der Wirkstoff im Blut freigesetzt. Die Wirkstoffkonzentration des Schmerzmittels im Blut wird durch folgende Funktion beschrieben f(t) = t³ - 8t² + 16t (in mg/l). Dabei steht t für die Stunden seit der Einnahme des Schmerzmittels (0 ≤ t ≤ 4). Bestimmen Sie die Wirkstoffkonzentration im Blut nach 30 Minuten und nach drei Stunden. Ermitteln Sie den Zeitpunkt, an dem das Medikament komplett abgebaut ist, sodass kein Wirkstoff mehr im Blut zu finden ist. c) d) Berechnen Sie nach wie vielen Stunden oder Minuten sich die höchste Wirkstoffkonzentration im Blut befindet. Geben Sie diese maximale Wirkstoffkonzentration an. Berechnen Sie die Zeitpunkte, an denen die Wirkstoffmenge im Blut am stärksten zunimmt und abnimmt. Zeichnen Sie die Funktion f(t) mit dem GTR und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse anhand des Graphen. mit GTR/Taschenrechner 2 Aufgabe 4: Graph der Ableitung Ordnen Sie den Funktionsgraphen 1-4 den entsprechenden Graphen ihrer Ableitung A - D zu. Begründen Sie Ihre Entscheidung. B -1 3 K /34 4 D 2,5/8 2 c) d) b) e) 7 Aufgabe 5: Gegeben ist die Funktion f(x) Führen Sie mit feine Funktionsuntersuchung/Kurvendiskussion durch. Überprüfen Sie begründet, ob f symmetrisch ist. Bestimmen Sie die Nullstellen von f. Berechnen Sie die Extrempunkte von f. Berechnen Sie die Wendepunkte von f. Untersuchen Sie die Funktion hinsichtlich ihrer Monotonie, d.h. notieren Sie in welchen Intervallen die Kurvenschar monoton zunehmend oder monoton abnehmend ist. a) b) c) d) e) Funktionsuntersuchung/Kurvendiskussion = 5x³+4x² − 6x. Darstellungsleistung/Ordnungspunkte: Funktionenschar BONUS-Aufgabe: Gegeben ist die Kurvenschar f(x) = -0,01 a x³ + 0,3 a x² für a>0. Führen Sie mit få eine Funktionsuntersuchung/Kurvendiskussion durch und geben Sie die Ergebnisse in Abhängigkeit von a an. a) Notieren Sie die Funktionsgleichungen von fa für und a = 2. Berechnen Sie f2₂(-10). Bestimmen Sie die Nullstellen von fa in Abhängigkeit von a. Berechnen Sie die Extrempunkte von fa in Abhängigkeit von a. Berechnen Sie die Wendepunkte von fa in Abhängigkeit von a. Untersuchen Sie die Kurvenschar få hinsichtlich ihrer Monotonie, d.h. notieren Sie in welchen Intervallen die Kurvenschar monoton zunehmend oder monoton abnehmend ist. a = 1 1 > /3 /17

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- 2ax² + a fax)=a²x3 +4₂x 16 21.09.2021 G (✓) ✓ f G 2a) Die Funktion f (x) = 5x² - 2x3 + 9x² - 4x+10 ist weder punktsymetrisch zum ursprung (010) nach achsensymmetrisch zur y-Achse, da als auch ungerade sowohl gerade Exponenten workommen. 2.b) Die Funktion f(t) = ²/3 +5 - 1/3 6²³ +6° ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse nach punktsymmetrisch zum ursprung, da hier ebenfalls ungerade und gerade Expo- 2.c) Die Funktion f(x)= (2+x). (x²-3x) = 6x² + x³ + 6x² ist ebenso hat ebenso keine symmetrie, aufgrund gerader und ungerader Exponennten. /55 ✓ f 1º 3° bzw. 2. d) Die Funktion g (+) = 22 +² -5° ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da nur gerade Exponenaten (xº) gårkeine Exponenten vorkommen und 0 eine Zahl ist. ✓ f gerade 2. e) fa (x) = 4₂²x4-2ax² +2° ist ebenso achsensymme- trisch zur y-Achse, aufgrund gerader Exponenten. 11 Aufgabe 2) a) 1. Der Graph besitzt zwei Nullstellen. Die erste Nullstelle liegt bei x₂=-2 undi die zweite bei x₂=4 Sie heißt Nullstelle da sie an der Punkt nur an der X-Achse schneidet x₂ = 4₁ also ×2 x₁ = -2₁ also (-210) (410) 2. Der Graph besitzt ebenso ein Extremstellen, d. A. jedoch alle dieser drei Punkte, also ein Hoch- und Tief- einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Dieser Graph hat Sattelpunkt ein dieser verlaufen so: • Hochpunkt HP (4,8 14,5) grove Schätzung ✓ • Tiefpunkt TPC Sattelpunkt a SPC-210) 3. Der Graph besitzt auch ein y-Achsenabschnitt bei b] ₁. I ∞ = (-∞; -2] =monoton zunehmend 2 1₁ ∞ = [= 2; 1,8] => monoton zunehmend 3. I∞0 - [118; 4] => monoton abnehmend 4. I ∞ = [4 ; ∞] =) monoton zunehmend ✓ ✓ VE 5,5 رکرا O 1 Teil 2: a) b) 105 Minuten Aufgabe 3: Sachaufgabe Bei der Einnahme eines Schmerzmittels wird der Wirkstoff im Blut freigesetzt. Die Wirkstoffkonzentration des Schmerzmittels im Blut wird durch folgende Funktion beschrieben f(t) = t³ - 8t² + 16t (in mg/l). Dabei steht t für die Stunden seit der Einnahme des Schmerzmittels (0 ≤ t ≤ 4). Bestimmen Sie die Wirkstoffkonzentration im Blut nach 30 Minuten und nach drei Stunden. Ermitteln Sie den Zeitpunkt, an dem das Medikament komplett abgebaut ist, sodass kein Wirkstoff mehr im Blut zu finden ist. c) d) Berechnen Sie nach wie vielen Stunden oder Minuten sich die höchste Wirkstoffkonzentration im Blut befindet. Geben Sie diese maximale Wirkstoffkonzentration an. Berechnen Sie die Zeitpunkte, an denen die Wirkstoffmenge im Blut am stärksten zunimmt und abnimmt. Zeichnen Sie die Funktion f(t) mit dem GTR und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse anhand des Graphen. mit GTR/Taschenrechner 2 Aufgabe 4: Graph der Ableitung Ordnen Sie den Funktionsgraphen 1-4 den entsprechenden Graphen ihrer Ableitung A - D zu. Begründen Sie Ihre Entscheidung. B -1 3 K /34 4 D 2,5/8 2 c) d) b) e) 7 Aufgabe 5: Gegeben ist die Funktion f(x) Führen Sie mit feine Funktionsuntersuchung/Kurvendiskussion durch. Überprüfen Sie begründet, ob f symmetrisch ist. Bestimmen Sie die Nullstellen von f. Berechnen Sie die Extrempunkte von f. Berechnen Sie die Wendepunkte von f. Untersuchen Sie die Funktion hinsichtlich ihrer Monotonie, d.h. notieren Sie in welchen Intervallen die Kurvenschar monoton zunehmend oder monoton abnehmend ist. a) b) c) d) e) Funktionsuntersuchung/Kurvendiskussion = 5x³+4x² − 6x. Darstellungsleistung/Ordnungspunkte: Funktionenschar BONUS-Aufgabe: Gegeben ist die Kurvenschar f(x) = -0,01 a x³ + 0,3 a x² für a>0. Führen Sie mit få eine Funktionsuntersuchung/Kurvendiskussion durch und geben Sie die Ergebnisse in Abhängigkeit von a an. a) Notieren Sie die Funktionsgleichungen von fa für und a = 2. Berechnen Sie f2₂(-10). Bestimmen Sie die Nullstellen von fa in Abhängigkeit von a. Berechnen Sie die Extrempunkte von fa in Abhängigkeit von a. Berechnen Sie die Wendepunkte von fa in Abhängigkeit von a. Untersuchen Sie die Kurvenschar få hinsichtlich ihrer Monotonie, d.h. notieren Sie in welchen Intervallen die Kurvenschar monoton zunehmend oder monoton abnehmend ist. a = 1 1 > /3 /17