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MATUE MATHE 4. Grades THEMA Steckbriefaufgaben Funktionen nach Gradzahlen: Allgemeine Funktionsgleichung durch Anzahl der Gradzahl bilden. 3. Grades: f (x) = ax³ + bx³+ (x + d ax + bx³ + cxª+ dx +e Punktsymmetrisch: f(x) = ax ³ + cx (hier 3. Grades) → nur ungerade Exponenten Achsensymmetrisch: f(x) = ax4 + cx² te f(x) = : BEISPIELAUFGABE Gesucht ist die Ganerationale Funktion 3. Grades -Sie besitzt im Punkt P(2114) eine wendetangente mit der Steigung m= 15 - Sie hat eine Nullstelle bei x= 1 Chier 4.Grades) → nur gerade Exponenten 34 gesuchte bilden 4. Nullstelle beix = 1 : f(1) = 0 Schritt 3: Gleichungssystem aufstellen 1. f(2)=a.2³+ b·2² c·2+d=14 2 f'(2) = 39.2ª + 2b·2 +c = 15 3. f(2)= 6a 2+2b = 0 4. f(1) = a. 1³ + b.1² + c.1+d=O Schritty: Gleichungssystem lösen. 1. 19= 8a + 4b+2c+d 4. O=A+b+c+d 2. 15= 12a + 4b +c Lösung: 3. 12a + 12b a=-1 b= 6 (-3 d=-8 Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufstellen Wir wissen : Funktion 3. Grades f(x) = ax³ + bx² + cx +d Schritt 1.2: Ableitungen f'(x) = 3ax² + 2bx+c f"(x) = 6ax + 2b Schritt 2: Was muss die Funktion erfüllen ? ( Anzahl der Forderung = Anzahl der Forderung) Hier : 3. Grades = 4 Variablen (a,b,c,d) = 4 Forderungen 1. Funktion gent durch (2114) f(2)= 14 2. Ableitung im Punket (2114) ist AS f'(2) = AS 3.Punkt (2114) in ein wp . f"(x)=0 GTR 07.12.21 Das NEW-Prinzip": N=...
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Nullstellen f(x) f'(x) W= Wendepunkt f"(x) 2. E= Extrema menu 3,2 linSolve Favorivisierte Formeln 1. 11 geht durch den Punkt (xly)" → f(x)=y tangente besitzt Steigung m">f'(x) = m besitzt WP bei (x\y)"→> f"(x) = 0 3. 4. besitz Nullstelle beix"=> f(x) = 0 11 S. „ besitzt HP\TPISP bei (xly)→ f'(x)=0 Schritt S: Funktionsgleichung bilden f(x) = -x³+ 6x² +3×−8 ÜBERSICHT: wie sind a und bo zu wählen, damit der Flächeninhalt maximiert wird? u=16m 1) Hauptbedingung: passende funktion, die das beschreibt was minimiert Imaximiert werden soll 2) Nebenbedingung aufstellen. Bedingung unter der die Funktion maximiert I minimiert. werden soll 3) Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen. eine Variabel in der Hauptbedingung wird durch die Nebenbedingung A(b) = (8-16). b A(b)=86-b² →> Zielfunkti 4) Extremwert berechnen: in der Zielfunktion ist nur noch eine variabel enthalten, nach der man die Zielfunktion umstellen kann und den Extremwert erhält man, indem man die Ableitung bildet und =0 setzt bei einer Haximierung sucht man einen Hochpunkt (f"(x) < 0) bei einer Minimierung sucht man ein Tiefpunkt (fll(x) > 0) A'(b) = A" (b) =-240 ersetzt → Zielfunktion ↳ ↳> THEMA 2: Extremwertprobleme 2) 3) 4) S) BEISPIELAUFGABE A: 80cm Draht sollen zu einem möglichst großen Behälter mit quadratischer Grundfläche werden 1) U = a·a·n u= a ²₁h -> HB 80 = 4a+ya+h 80 = 8a+ 4 →> NB 80-894n. |-8a 1:4 =8-26 80-89 = un 20-2a = n V(a)=a² (20-2a) . V(a) 209² 29³ V(a) = a.O 2a3+ 20a² V'(a) a• (-6a+40) ↓ - 6a+ 40 =0 | +6a 40 = 6a |:6 6,66667 =a (ableitung) in HB setzen = -6a² + 40a = 0 V" (a) = -12a + 40 b=4 | Ausklammern 我 a A=a.⋅b → Flacue h 2a2b-16 07.12.21
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