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Stochastik (EF)

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 EF M (Hon)
3. Klausur
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Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel
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EF M (Hon) 3. Klausur Name: Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel Noah Notge, 3. Klausur: Stochastik Stochastik Allgemeine Hinweise: Beachten Sie, dass die Darstellung Ihrer Lösungen in die Bewertung mit zwei Punkten eingeht. Kommentieren Sie Ihre Lösungen so durch Zwischenschritte, Bemerkungen und Antwortsätze, dass der Lösungsweg klar nachvollziehbar wird. Hilfsmittel für Teil I: keine Zeitvorgabe: maximal 20 Minuten Achtung: Sobald Sie den Prüfungsteil A abgegeben haben, können Sie sich vorne am Pult den zweiten Teil der Klausur und Ihren GTR abholen. Aufgabe 1: Urnenexperimente 08.03.22 Viel Erfolg! (14 Punkte) In einer Urne befinden sich 6 weiße (W) und 4 rote (R) Kugeln. Es sollen drei Kugeln gezogen werden, die jeweils nach dem Zug wieder in die Urne zurückgelegt werden. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (W,W,R). (3 P.) Nun sollen nur noch zwei Kugeln gezogen werden. Vor dem zweiten Zug wird die gezogene Kugel jedoch dieses Mal nicht wieder zurückgelegt. b) Geben Sie die Ergebnismenge an. (2 P.) c) Stellen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar. Beschriften Sie alle Pfade mit den passenden Wahrscheinlichkeiten. (4 P.) d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgendes Ereignis geschickt: E: „Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen" (3 P.) In einem dritten Experiment wird in die gleiche Urne zusätzlich eine unbekannte Anzahl nan gelben Kugeln gelegt. e) Bestimmen Sie n so, dass bei einmaligem Ziehen die Wahrscheinlichkeit für eine gelbe Kugel beträgt. (2...

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P.) Mathematik-Klausur : Stochastil Noah Notges 1. Teil A1. a) E₁ = {(W₁ W₁R)} 66 £4 P(E₁) = = = = 6 = 60 = 10 10 25 b) S2 = {(W₁U); (R, R); (R, Uli (W₁R)F (c) U 5 9 سل 3 5 J19 2 TA 12 W D ZV S d) E₂ = {(R, R); (U₁R)i(R, 4/}~ E₂ = {(W₁W} ~ 1 1 15 P(È) - 3 § - ² - 3 (- 45 744 1 2 P(E₂) = 1 - P(E₂) = 1 - 2 = 3/ e) 6 (W), 4(R), n (G) P(G) = 3/² ✓ n = 5 3 R F 3 S P(G) ====== → E, müven 5 gelbe Kugel sein, damit die WK diese Zuzichen 1/2 ist. 08.03 2022 Hor GW2 313 212 414 313 212 1 EF M (Hon) 3. Klausur Name: Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Noah Nötges 2. Klausur: Stochastik Stochastik Allgemeine Hinweise: Beachten Sie, dass die Darstellung Ihrer Lösungen in die Bewertung mit zwei Punkten eingeht. Kommentieren Sie Ihre Lösungen so durch Zwischenschritte, Bemerkungen und Antwortsätze, dass der Lösungsweg klar nachvollziehbar wird Aufgabe 2: Münzwurf Achten Sie auch darauf, den GTR sinnvoll und zeitsparend einzusetzen und dessen Nutzung durch entsprechende Kommentare deutlich zu machen. Bei dem Operator ,,Berechne" oder dem Zusatz ,,rechnerisch“ sind zudem Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse explizit anzugeben. Runden Sie Ergebnisse falls nötig auf zwei Nachkommastellen. Hilfsmittel für Teil II: GTR und Formelsammlung Zeitvorgabe: 70 Minuten + Restzeit aus Teil I Viel Erfolg! X: Anzahl Kopf H: abs. Häufigkeit (10 Punkte) Bei einem Zufallsexperiment wird eine normale Münze 3-mal geworfen und die Anzahl der geworfenen „Köpfe" notiert. Dies wird durch die Zufallsgröße X beschrieben. Nach 60 Ausführungen dieses Experiments ergibt sich folgende Häufigkeitsverteilung: 08.03.22 0 4 1 25 2 21 3 10 lich a) Berechnen Sie die durchschnittlich pro Lottoschein aufgetretene Anzahl richtig getippter Zahlen x. (2 P.) b) Geben Sie eine passende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X an und berechnen Sie den Erwartungswert u für die Anzahl an Köpfen beim dreifachen Münzwurf. (5 P.) c) Erklären Sie, wieso es zu einem Unterschied zwischen dem Erwartungswert u und dem arithmetischen Mittel x kommt. Wie müsste man das Experiment verändern, um eine Annäherung der Werte zu erzielen? (3 P.) Bitte wenden! EF M (Hon) Aufgabe 3: Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit In einem Hotel ergibt eine Befragung der Gäste, dass 40% aus beruflichen Gründen (Ereignis B) übernachten, die anderen geben private Reisegründe an. 70% der Gäste bleiben länger als eine Nacht (Ereignis L). 45% der Gäste reisen aus privaten Gründen und bleiben länger als eine Nacht. B 3. Klausur a) Geben Sie den Sachverhalt in einer Vierfeldertafel an. (3 P.) B Summe Stochastik L 1) 2) 25% 45% V 70% ī 15% 15% 30% Sau 08.03.22 (18 Punkte) Sumne 40% 60% 100% b) Stellen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar. Betrachten Sie dabei das Merkmal B auf der ersten Stufe und beschriften Sie alle Pfade und Pfadenden mit den passenden Wahrscheinlichkeiten. (4 P.) c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass... Frau Direktorin Paulsen beruflich reist und mehrere Tage bleibt. Herr Schmidt nur eine Nacht bleibt, wenn man weiß, dass er private Gründe hat. 3) ... Herr Müller aus einem beruflichen Grund reist, wenn man weiß, dass er nur eine Nacht gebucht hat. (7 P.) d) Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Reisegrund Einfluss auf die Dauer des Aufenthalts nimmt. (4 P.) 313 EF M (Hon) 3. Klausur Aufgabe 4: Glücksrad Stochastik Ein Glücksrad hat einen schwarzen Sektor mit dem Winkel a und einen weißen Sektor mit dem Winkel 360° - a. Es wird zweimal gedreht. Der Spieleinsatz beträgt 5 €. Gewonnen hat man, wenn in beiden Fällen der gleiche Sektor kommt, dann erhält man eine Auszahlung von 8 €. Zunächst gilt: Der Winkel a des schwarzen Sektors sei 120°. Die Zufallsvariable X beschreibt den Gewinn in €. 08.03.22 (16 Punkte) a) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn an. (4 P.) b) Ist das Spiel fair? Nehmen Sie begründet Stellung. (4 P.) Der Winkel a des schwarzen Sektors soll nun so verändert werden, dass das Spiel fair wird. Dies ist der Fall, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit P(Gewinn) = -beträgt. Geschafft & 8 c) Bestimmen Sie rechnerisch den Winkel a so, dass das Spiel fair wird, indem Sie ... 1)... die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des schwarzen Sektors mit p annehmen und einen Term für die Gewinnwahrscheinlichkeit aufstellen und diesen vereinfachen, 2)... den Term so für p lösen, dass das Spiel fair wird, 3)... mit Hilfe von p den Winkel x ermitteln. (8 P.) Mathematih-Klausur: Stochastik Noah Nötges // Teil 2 41 To a (6) M₁ = 0 + G + 4.25 +2.25 +3.200 97 X H 20 60 O 10 T 21 NTS 3 25 4 2 X = 0.4 +1.25 +2·21 +3·10): 60 97/60 = 1,62 +2. N X O 3 WH 4160, 25/60 21/60 10160 0,725 + 0,725 D1425 0,225. 25 221 +3 10 97 P=U·U·U 08.03.2022 Von daher münte man afters de 60 mal werten, um eine Annährung de boden wrote zu erzielen. Hor I falsche 11 tt = 604162 c) Der Erwartungswet budrübt das zu erwartende stochabuda Ergelenig eines Versuches ider unendlich oft durchgeführt wurde. Ei bercht also auf relation Zahlen. Der arithmetinde Mettel ist da absolak Durchschnitt. 1 1 Verwendy umn= 1/2 0₂ M = 1.0,125 +2·0₁825+ 3·0,825 = 1,5 (~) → Durschnitt 1,5 Köpfe kim Prüfuka Vart 113 315

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P.) Mathematik-Klausur : Stochastil Noah Notges 1. Teil A1. a) E₁ = {(W₁ W₁R)} 66 £4 P(E₁) = = = = 6 = 60 = 10 10 25 b) S2 = {(W₁U); (R, R); (R, Uli (W₁R)F (c) U 5 9 سل 3 5 J19 2 TA 12 W D ZV S d) E₂ = {(R, R); (U₁R)i(R, 4/}~ E₂ = {(W₁W} ~ 1 1 15 P(È) - 3 § - ² - 3 (- 45 744 1 2 P(E₂) = 1 - P(E₂) = 1 - 2 = 3/ e) 6 (W), 4(R), n (G) P(G) = 3/² ✓ n = 5 3 R F 3 S P(G) ====== → E, müven 5 gelbe Kugel sein, damit die WK diese Zuzichen 1/2 ist. 08.03 2022 Hor GW2 313 212 414 313 212 1 EF M (Hon) 3. Klausur Name: Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln Noah Nötges 2. Klausur: Stochastik Stochastik Allgemeine Hinweise: Beachten Sie, dass die Darstellung Ihrer Lösungen in die Bewertung mit zwei Punkten eingeht. Kommentieren Sie Ihre Lösungen so durch Zwischenschritte, Bemerkungen und Antwortsätze, dass der Lösungsweg klar nachvollziehbar wird Aufgabe 2: Münzwurf Achten Sie auch darauf, den GTR sinnvoll und zeitsparend einzusetzen und dessen Nutzung durch entsprechende Kommentare deutlich zu machen. Bei dem Operator ,,Berechne" oder dem Zusatz ,,rechnerisch“ sind zudem Ansätze, Lösungswege und Ergebnisse explizit anzugeben. Runden Sie Ergebnisse falls nötig auf zwei Nachkommastellen. Hilfsmittel für Teil II: GTR und Formelsammlung Zeitvorgabe: 70 Minuten + Restzeit aus Teil I Viel Erfolg! X: Anzahl Kopf H: abs. Häufigkeit (10 Punkte) Bei einem Zufallsexperiment wird eine normale Münze 3-mal geworfen und die Anzahl der geworfenen „Köpfe" notiert. Dies wird durch die Zufallsgröße X beschrieben. Nach 60 Ausführungen dieses Experiments ergibt sich folgende Häufigkeitsverteilung: 08.03.22 0 4 1 25 2 21 3 10 lich a) Berechnen Sie die durchschnittlich pro Lottoschein aufgetretene Anzahl richtig getippter Zahlen x. (2 P.) b) Geben Sie eine passende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X an und berechnen Sie den Erwartungswert u für die Anzahl an Köpfen beim dreifachen Münzwurf. (5 P.) c) Erklären Sie, wieso es zu einem Unterschied zwischen dem Erwartungswert u und dem arithmetischen Mittel x kommt. Wie müsste man das Experiment verändern, um eine Annäherung der Werte zu erzielen? (3 P.) Bitte wenden! EF M (Hon) Aufgabe 3: Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit In einem Hotel ergibt eine Befragung der Gäste, dass 40% aus beruflichen Gründen (Ereignis B) übernachten, die anderen geben private Reisegründe an. 70% der Gäste bleiben länger als eine Nacht (Ereignis L). 45% der Gäste reisen aus privaten Gründen und bleiben länger als eine Nacht. B 3. Klausur a) Geben Sie den Sachverhalt in einer Vierfeldertafel an. (3 P.) B Summe Stochastik L 1) 2) 25% 45% V 70% ī 15% 15% 30% Sau 08.03.22 (18 Punkte) Sumne 40% 60% 100% b) Stellen Sie den Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar. Betrachten Sie dabei das Merkmal B auf der ersten Stufe und beschriften Sie alle Pfade und Pfadenden mit den passenden Wahrscheinlichkeiten. (4 P.) c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass... Frau Direktorin Paulsen beruflich reist und mehrere Tage bleibt. Herr Schmidt nur eine Nacht bleibt, wenn man weiß, dass er private Gründe hat. 3) ... Herr Müller aus einem beruflichen Grund reist, wenn man weiß, dass er nur eine Nacht gebucht hat. (7 P.) d) Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Reisegrund Einfluss auf die Dauer des Aufenthalts nimmt. (4 P.) 313 EF M (Hon) 3. Klausur Aufgabe 4: Glücksrad Stochastik Ein Glücksrad hat einen schwarzen Sektor mit dem Winkel a und einen weißen Sektor mit dem Winkel 360° - a. Es wird zweimal gedreht. Der Spieleinsatz beträgt 5 €. Gewonnen hat man, wenn in beiden Fällen der gleiche Sektor kommt, dann erhält man eine Auszahlung von 8 €. Zunächst gilt: Der Winkel a des schwarzen Sektors sei 120°. Die Zufallsvariable X beschreibt den Gewinn in €. 08.03.22 (16 Punkte) a) Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn an. (4 P.) b) Ist das Spiel fair? Nehmen Sie begründet Stellung. (4 P.) Der Winkel a des schwarzen Sektors soll nun so verändert werden, dass das Spiel fair wird. Dies ist der Fall, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit P(Gewinn) = -beträgt. Geschafft & 8 c) Bestimmen Sie rechnerisch den Winkel a so, dass das Spiel fair wird, indem Sie ... 1)... die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des schwarzen Sektors mit p annehmen und einen Term für die Gewinnwahrscheinlichkeit aufstellen und diesen vereinfachen, 2)... den Term so für p lösen, dass das Spiel fair wird, 3)... mit Hilfe von p den Winkel x ermitteln. (8 P.) Mathematih-Klausur: Stochastik Noah Nötges // Teil 2 41 To a (6) M₁ = 0 + G + 4.25 +2.25 +3.200 97 X H 20 60 O 10 T 21 NTS 3 25 4 2 X = 0.4 +1.25 +2·21 +3·10): 60 97/60 = 1,62 +2. N X O 3 WH 4160, 25/60 21/60 10160 0,725 + 0,725 D1425 0,225. 25 221 +3 10 97 P=U·U·U 08.03.2022 Von daher münte man afters de 60 mal werten, um eine Annährung de boden wrote zu erzielen. Hor I falsche 11 tt = 604162 c) Der Erwartungswet budrübt das zu erwartende stochabuda Ergelenig eines Versuches ider unendlich oft durchgeführt wurde. Ei bercht also auf relation Zahlen. Der arithmetinde Mettel ist da absolak Durchschnitt. 1 1 Verwendy umn= 1/2 0₂ M = 1.0,125 +2·0₁825+ 3·0,825 = 1,5 (~) → Durschnitt 1,5 Köpfe kim Prüfuka Vart 113 315