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Stochastik Lernzettel Abiturinhalte

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 Binomialverteilung
Eine Bernoulli-Kette der Länge n besteht aus n unabhängigen Bernoulli - Ex-
perimenten mit den Ergebnissen 1 (, Treffer"

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Binomialverteilung Eine Bernoulli-Kette der Länge n besteht aus n unabhängigen Bernoulli - Ex- perimenten mit den Ergebnissen 1 (, Treffer") und 0 (,, Niete"). Beschreibt die Zufallsgröße X die Anzahl der Treffer und ist p die Wahr- scheinlichkeit für einen Treffer, so erhält man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer mithilfe der Bernoulli - Formel: .. n→ Anzahl der Versuche P→ Trefferw-keit k/r Anzahl der Erfolge Stochastile Kettenlänge P(x = k) = (₂) . pk. (^- p)n-k W-keit für genau k Treffer Bn;p (k)= P(X= k) =( Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung Bn;p heißt Binomialverteilung. Die Zufallsgröße X heißt binomialverteilt mit den Parametern und P. P(x ≤ k) = P(x = 0) + P (× = 1) + + P(X= k) heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit. Erwartungswert von X ist Standardabweichung von X ist ở = n.p.(1-p)' = empirische Standardabweichung weil es um Zahlen- werte geht, diese Formel nutzen 0 Kenngrößen Kenngrößen für eine Stichprobe, welche die Werte x₁,..., Xn hat, liefert: Mittelwert x = 1 · (x₁ + x₂ + x3 + + xn) n M=n.p 1 + 1 15 X: Theoretische Kenngrößen einer Zufallsgröße Xn . Erwartungswert μ = x₁ · P ( X = X₁) + X₂ · P ( X = X ₂) + + ... + X₁ · P ( X = Xn) Standardabweichung σ = (x₁-μ). P(X=X₁) + + (xn-M)²· P(x= x₂) 1 Beispiel: Ziehen von zwei Kugeln ohne Zurücklegen X: Anzahl der roten Kugeln Wahrscheinlichkeitsverteilung: Trefferwahrscheinlichkeit . s = 1 · [(×₁ − × )² + (×₂...

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− × )² + ... + (xn−¯)²] · n 8 15 +2 ... = weil es um Wahrscheinlichkeiten geht, diese Formeln nutzen 2 5 3 4 HM a P(X= a) 18 2 E 0 1 15 15 2 2 10-4 8 2 . . 3 - ) ² + 1 ² 3 + (₁ - 13 ) ² + + + + + (² - 72 ) ² 15 15 2 5 = M: „mü" a: Sigma" W-keit 225 4√5 0,6 15 Allgemein bei einer großen Der Erwartungswert M gibt an, welcher Wert durchschnittlich Zahl von Durchführungen des Zufallsexperiments zu erwarten ist. Er ist also eine Prognose für den mittelwert. Die Standardabweichung o gibt die durchschnittliche Entfernung vom Mittelwert an. Binomialverteilung : GTR-Befehle Ereignis genau k Erfolge höchstens k Erfolge weniger als k Er- folge mindestens k Erfolge mehr als k Erfolge mindestens a, höchstens b Er- folge oder: (n) P(x=k) Höhe der Säule: W-keit, mit Beschreibung mit Hilfe der Zufalls- größe X der dieser wert ange- nommen wird x = k x ≤ k Х < k X = 1 X > k a ≤ x ≤ b „händisch" in GTR eingeben: Wahrscheinlichkeit der einzelnen Treffer alle Treffer (0 bis n) Berechnung mit Hil- fe der (kumulierten) Binomialverteilung P(x = k) P(x = k) Anzahl k P(X<k)=P(X ≤K-1) P(X>K)=1-P(X≤k) P(a ≤ x ≤ b) P(X k)=1-P(X2K-1) Binomial CD (k,n,n,p) ² → OPTN → rechts → GTR-Befehl →F3 →n Cr histogramme Für eine binomialverteilte Zufallsgröße X mit den Parameter n und p, dem Er- wartungswert μ=n·p und der Standardabweichung 0 = folgende Näherungen: =√ √n.p. (1-p) erhält man Binomial PD (k, n. p) Binomial CD (k, n, p) Binomial CD (k-1, n. p) Binomial CD (k+1,n,n,p) Binomial CD (a, b, n, p) Sigma-Regeln 10|1.P (μ-0 ≤ x ≤ μ + 0) ~ 68,3% 2012. P(μ-20 ≤ x ≤ μ20) ≈ 95,4% 303. PM-30 ≤ x ≤ μ30) ≈ 99,7% 4. P (M-1,64 0≤X ² M + 1,640) ≈ 90% 5. P (M-1,960 X ≤ μ + 1,960) ≈ 95% 6. P (M-2,58 0≤x≤ μ+ 2,580)≈ 99% Vielfache der Standardabweichung o vom Erwartungswert M → Sigma - Um- gebungen oder -intervalle 0,1 0,09 + 0,08 + 0,07 + 0,06 + 0,05- 0,04 + 0,03 + 0,02 0,01 + 0₁ . . P(X = r) 0,20 P(X-r) 0,10 P(X=k) 0,00 0,30 35 I 99,7% 0,20- 0,10- 0,00 Eigenschaften von Histogrammen bei ist Säule am höchsten (maximum) [E(X) = µ = n⋅p] →125 0,4 = 50 n = 50 40 I I 0 10 20 30 40 50 95,4% p = 0,6 0 10 20 30 40 50 60 r die Graphen der Binomialverteilung haben annähernd Glockenform · zwei Wendepunkte" (bei μ- und μ+) →im ersten Sigma-Intervall . 11 . · je größer die Standardabweichung, desto breiter die Glockenkurve alle Säulen addiert: 100% oder 1 p = 0,1 p = 0,3 p=0,5 p= 0,7 Op=0,9 45 Bei Histogrammen mit fester Anzah n und verschiedenen Wahrscheinlichkei- ten p ergibt sich: On = 10 On-20 On=40 n=80 68% 50 . I 1 . 1 1 10 55 n = 125 Stichprobenumfang P = 0,4 20 Bei Histogrammen mit veränderlicher Anzahl n und fester Wahrscheinlich - keit p ergibt sich: 60 30 65 Anzahl k · je größer p, desto weiter rechts liegt der Erwar- tungswert u (maximum) für p= 0,5 liegt mittig je größer n, desto breiter und flacher die Säulen mit wachsendem n rückt weiter nach rechts (M wächst also quasi mit) je größer n, desto symmetrischer wirkt das Vertei- lungsbild

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