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Klausur über Analysis

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 Erster Teil: Hilfsmittelfrei
Aufgabe 1 (ca. 15min, ca. 10 Punkte))
Gegeben ist die Funktionenschar ft mit ft(x) = 3x³ - t²x + 3 (t > 0).
a)

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Klausur

Mathe LK Klausur Thema: Analysis(Funktionsscharen,Hochpunkt, Wendepunkt etc.)

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Erster Teil: Hilfsmittelfrei Aufgabe 1 (ca. 15min, ca. 10 Punkte)) Gegeben ist die Funktionenschar ft mit ft(x) = 3x³ - t²x + 3 (t > 0). a) Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Hochpunkts von ft. b) Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Wendepunktes vonft. I.) 10a + 3b + 4c = 9 II.) 12a + 5b+c=0 III) c = 4 Aufgabe 3 (ca. 10min, ca. 12 Punkte) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch? Begründen Sie! Aufgabe 2 (ca. 15min, ca. 18 Punkte)) Stellen Sie für folgende Steckbriefaufgabe, das zu lösende lineare Gleichungssystem auf. Das Gleichungssystem muss nicht gelöst werden; erwartet wird eine Lösung in ausmultiplizierter Form in folgender Art: a) Die erste Ableitung von f hat im dargestellten Bereich drei Nullstellen. b) Die zweite Ableitung von f hat im dargestellten Bereich drei Nullstellen. c) f'(-1) < 0. d) f"(1) = 0 a) Der Graph der ganzrationalen Funktion dritten Grades besitzt in T(1/-2) einen Tiefpunkt und verläuft durch die Punkte A(0/-1) und B(2/1). 1 f₁ b) Der Graph der ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in W(1/-1) einen Wendepunkt und verläuft durch den Punkte A(0/1) und hat an der Stelle x = 1 die Steigung 2. -1 0 b) faloch, da sie c) falsehr,. dj religftrifft direkt auf die eine Ay -2- 4 a) ist richtig, da die Funktion drei extremsteller howl _ nur ain WP hadicels kame thingy Nillstelle 3 2 2- гу 3 Zweiter...

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Teil: Mit Hilfsmitteln Aufgabe 4 (ca. 10min, ca. 10 Punkte) Aus einem dreieckigen Stück ORQ einer Glasscheibe soll ein rechteckiges Stück mit einem möglichst großen Flächeninhalt, wie in der Abbildung dargestellt, herausgeschnitten werden. Der Eckpunkt P(u/v) liegt auf dem Graphen der Funktion. 5 f: y = -x + 5 (Einheiten in dm). Bestimmen Sie rechnerisch, welche Maße das Rechteck haben muss, damit seine Fläche maximal wird. Aufgabe 5 (ca. 15min, ca. 13 Punkte) Durch das Zentrum Z eines Dorfes führt eine geradlinige Hauptstraße. Es soll eine Umgehungsstraße gebaut werden, die symmetrisch zur Nord-Süd-Achse des Dorfes verläuft. Die Umgehungsstraße soll in den Punkten A und B tangential in die geradlinige Hauptstraße münden und 500m nördlich vom Dorfzentrum durch den Punkt C führen (vgl. Fig. 1, eine Längeneinheit entspricht 1km) A(-110,5) Weisen Sie nach, dass ihre Funktion die gewünschten Eigenschaften hat. 5 4 3 2 1 Aufgabe 6 (ca. 15min; ca. 15 Punkte) Bestimmen Sie rechnerisch (mit Zwischenergebnissen!) eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion, die zu den abgebildeten Graphen passen könnte. (Überlegen Sie zunächst, welchen Grad die Funktion mindestens haben muss.) -1 -1,5 AY O -0,5 -4 Q A 1,5- 10,5 y = -√³x + 5 0 1 C(0/1) P(ulv) 2 Z(010,5) 0.5 R 3 -3. B(110,5) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, die den Verlauf der Umgehungsstraße für - 1 ≤ x ≤ 1 beschreibt. A -2 W(-11-1)-1+ 4 1 H(011) X N 2 X Fig. 1 Name: Nr. 1 2 3 Nr. 4 5 a) Erwartungshorizont - Klausur Nr. 1 Extremstelle: N.B. f'(x) = 9x² - t² = 0 x² == = = = = x₁/2 = ± ² 9 3 f"(x) = 18x Teil 1: Hilfsmittelfreier Teil Lösungsskizze 18t H.B. f"(-) = -1 <0, also HP 3 18 f")=>0, also TP b) Wendestelle: N.B. f"(x) = 18x = 0, also x = 0 H.B. f(x) = 18 > 0, also höchstes Gefälle a) f(x)=ax³+bx²+cx+d// f'(x)=3ax²+2bx+c f(1)=-2 a+b+c+d = -2 f'(1)=0 3a+2b+c=0 f(0)=-1d=-1 f"(1)=0 f(0)=1 d=1 f'(1)=2 f(2)=18a+4b+2c+d=1 b) f(x)=ax³+bx+cx+d // f'(x)=3ax²+2bx+c // f(x)=6ax+2b f(1) =-1 a+b+c+d=-1 6a+2b=0 3a+2b+c=2 a) korrekt, da 2 TP, HP b) falsch, da nur 2 Wendepunkte c) falsch, da dort steigend d) falsch, da dort kein Wendepunkt (linksgekrümmt) Teil 2: Mit Hilfsmitteln Lösungsskizze A(u,v)=u-v Setze Nebenbedingung v= -5/3-u +5 ein: A(u)=-5/3u²+5u A'(u)=-10/3u+5, A“(u)=-10/3 (2) (2) (1) (1) (1) (2) (1) Lösungsansatz f(x)=ax+bx+cx²+dx+e; f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d 1) f(-1)=0,5 a-b+c-d+e=0,5 II)f'(-1)=0-4a+3b-2 c+d=0 III)f(0)=1 e=1 (2) (2) (2) (2) (2) (s.o.) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) Gesamtpunktzahl Teil 1 (1) (1) N.B. A'(u)=0-10/3u+5 = 0u = 1,5 (2) H.B. A'(1,5)= -10/3 <0, also Hochpunkt; Ränder hier unerheblich (1) v=-5/3-3/2 + 5 = 2,5 (2). (2) (2) (2) (2) Punkte /10 /18 /8 /36 Punkte '10 Mathematik LK Q1/1 Name: 6 7 8 IV)f(1) =0,5 a+b+c+d+e=0,5 V)f'(1)=0 4a+3b+2c+d=0 mit GeoGebra a=0,5, b=0, c=-1, d=0, e=1 f(x)=0,5x²-x²+1 f(x)=ax³+bx²+cx+d // f'(x)=3ax²+2bx+c // f'(x)=6ax+2b 1) f(-1)=-1-a+b-c+d=-1 II) f'(-1)=0-6a+2b=0 III) f(0)=1 d=1 IV) f'(0)=0 c=0 also b=-3 => f(x)= -x³-3x²+1 Nachweis von Hochpunkt H: f(0)=1 und f'(0)=0 sowie Wendepunkt W: f(-1)=-1 und f"(-1)=0 a) p(1,5) =730_p(90)-.... (nur 1) Klausur Nr. 1 Bleiben also I) -a+b=-2 b=a-2. Setze dies in II) -6a+2b = 0 ein: -6a+2a-4 = 0 ⇒a=-1 b) Extrema berechnen p'(t)=120t²-360t; p"(t)=240t-360 N.B. p'(t)=0 => t=0, t=3; d) Wendepunkt p""(t)=240 De e) p(t) = 750 (2) (2) (1) (3) (2) (2) (2) (2) a) Parabeln mit Scheitelunkt etwa bei (-0,5/-1,25), (0,5/0,75) b) fk'(x)=2x+k //fk"(x)=2 N.B. fk'(x)=0 2x+k=0 x = k/2 H.B. f'(-k/2)=2>0, also lokale Tiefpunkte (global, da Parabel) y-Koord.: f(-k/2)=k²/4-k²/2 - k = -1/4k²-k (1) . (2) H.B.p" ungleich 0 p"(0)=-360 => HP, p"(3)=360 => TP Koord. p(0) = 1000 => H(0 min/1000 mbar) p(3)=460 => T(3 min/460 mbar) Randbetrachtung: p(4,5) = 1000, also absolute HP bei 0 und 4,5min, TP bei 3min (1) c) Abfall: 0 bis 3, Anstieg 3 bis 4,5 (Verweis auf Extremstellen aus Aufgabe b) (1) (2) (1) (2) (1) (1) (3) (2) (2) N.B. p"(t)=0 => t = 1,5 H.B. p(1,5)= 240> 0, also lokal größter Abfall (2) Randdiskussion: entweder p' an den Rändern p'(0)=0 und p'(4,5)=810 (2) Änderungsrate p'(1,5) = -270 mbar/min (3) (1) 40t³-180t²+250 = 0, t = -1,06 t=1,42; t = 4,13 => zwischen 1,42 und 4,13 min, also etwa 2,73min > 1min (3) (3) (2) (2) (2) (2) (1) 13 17 13 /14 13 /11 /4 19

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Teil: Mit Hilfsmitteln Aufgabe 4 (ca. 10min, ca. 10 Punkte) Aus einem dreieckigen Stück ORQ einer Glasscheibe soll ein rechteckiges Stück mit einem möglichst großen Flächeninhalt, wie in der Abbildung dargestellt, herausgeschnitten werden. Der Eckpunkt P(u/v) liegt auf dem Graphen der Funktion. 5 f: y = -x + 5 (Einheiten in dm). Bestimmen Sie rechnerisch, welche Maße das Rechteck haben muss, damit seine Fläche maximal wird. Aufgabe 5 (ca. 15min, ca. 13 Punkte) Durch das Zentrum Z eines Dorfes führt eine geradlinige Hauptstraße. Es soll eine Umgehungsstraße gebaut werden, die symmetrisch zur Nord-Süd-Achse des Dorfes verläuft. Die Umgehungsstraße soll in den Punkten A und B tangential in die geradlinige Hauptstraße münden und 500m nördlich vom Dorfzentrum durch den Punkt C führen (vgl. Fig. 1, eine Längeneinheit entspricht 1km) A(-110,5) Weisen Sie nach, dass ihre Funktion die gewünschten Eigenschaften hat. 5 4 3 2 1 Aufgabe 6 (ca. 15min; ca. 15 Punkte) Bestimmen Sie rechnerisch (mit Zwischenergebnissen!) eine Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion, die zu den abgebildeten Graphen passen könnte. (Überlegen Sie zunächst, welchen Grad die Funktion mindestens haben muss.) -1 -1,5 AY O -0,5 -4 Q A 1,5- 10,5 y = -√³x + 5 0 1 C(0/1) P(ulv) 2 Z(010,5) 0.5 R 3 -3. B(110,5) Bestimmen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion vierten Grades, die den Verlauf der Umgehungsstraße für - 1 ≤ x ≤ 1 beschreibt. A -2 W(-11-1)-1+ 4 1 H(011) X N 2 X Fig. 1 Name: Nr. 1 2 3 Nr. 4 5 a) Erwartungshorizont - Klausur Nr. 1 Extremstelle: N.B. f'(x) = 9x² - t² = 0 x² == = = = = x₁/2 = ± ² 9 3 f"(x) = 18x Teil 1: Hilfsmittelfreier Teil Lösungsskizze 18t H.B. f"(-) = -1 <0, also HP 3 18 f")=>0, also TP b) Wendestelle: N.B. f"(x) = 18x = 0, also x = 0 H.B. f(x) = 18 > 0, also höchstes Gefälle a) f(x)=ax³+bx²+cx+d// f'(x)=3ax²+2bx+c f(1)=-2 a+b+c+d = -2 f'(1)=0 3a+2b+c=0 f(0)=-1d=-1 f"(1)=0 f(0)=1 d=1 f'(1)=2 f(2)=18a+4b+2c+d=1 b) f(x)=ax³+bx+cx+d // f'(x)=3ax²+2bx+c // f(x)=6ax+2b f(1) =-1 a+b+c+d=-1 6a+2b=0 3a+2b+c=2 a) korrekt, da 2 TP, HP b) falsch, da nur 2 Wendepunkte c) falsch, da dort steigend d) falsch, da dort kein Wendepunkt (linksgekrümmt) Teil 2: Mit Hilfsmitteln Lösungsskizze A(u,v)=u-v Setze Nebenbedingung v= -5/3-u +5 ein: A(u)=-5/3u²+5u A'(u)=-10/3u+5, A“(u)=-10/3 (2) (2) (1) (1) (1) (2) (1) Lösungsansatz f(x)=ax+bx+cx²+dx+e; f'(x)=4ax³+3bx²+2cx+d 1) f(-1)=0,5 a-b+c-d+e=0,5 II)f'(-1)=0-4a+3b-2 c+d=0 III)f(0)=1 e=1 (2) (2) (2) (2) (2) (s.o.) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) Gesamtpunktzahl Teil 1 (1) (1) N.B. A'(u)=0-10/3u+5 = 0u = 1,5 (2) H.B. A'(1,5)= -10/3 <0, also Hochpunkt; Ränder hier unerheblich (1) v=-5/3-3/2 + 5 = 2,5 (2). (2) (2) (2) (2) Punkte /10 /18 /8 /36 Punkte '10 Mathematik LK Q1/1 Name: 6 7 8 IV)f(1) =0,5 a+b+c+d+e=0,5 V)f'(1)=0 4a+3b+2c+d=0 mit GeoGebra a=0,5, b=0, c=-1, d=0, e=1 f(x)=0,5x²-x²+1 f(x)=ax³+bx²+cx+d // f'(x)=3ax²+2bx+c // f'(x)=6ax+2b 1) f(-1)=-1-a+b-c+d=-1 II) f'(-1)=0-6a+2b=0 III) f(0)=1 d=1 IV) f'(0)=0 c=0 also b=-3 => f(x)= -x³-3x²+1 Nachweis von Hochpunkt H: f(0)=1 und f'(0)=0 sowie Wendepunkt W: f(-1)=-1 und f"(-1)=0 a) p(1,5) =730_p(90)-.... (nur 1) Klausur Nr. 1 Bleiben also I) -a+b=-2 b=a-2. Setze dies in II) -6a+2b = 0 ein: -6a+2a-4 = 0 ⇒a=-1 b) Extrema berechnen p'(t)=120t²-360t; p"(t)=240t-360 N.B. p'(t)=0 => t=0, t=3; d) Wendepunkt p""(t)=240 De e) p(t) = 750 (2) (2) (1) (3) (2) (2) (2) (2) a) Parabeln mit Scheitelunkt etwa bei (-0,5/-1,25), (0,5/0,75) b) fk'(x)=2x+k //fk"(x)=2 N.B. fk'(x)=0 2x+k=0 x = k/2 H.B. f'(-k/2)=2>0, also lokale Tiefpunkte (global, da Parabel) y-Koord.: f(-k/2)=k²/4-k²/2 - k = -1/4k²-k (1) . (2) H.B.p" ungleich 0 p"(0)=-360 => HP, p"(3)=360 => TP Koord. p(0) = 1000 => H(0 min/1000 mbar) p(3)=460 => T(3 min/460 mbar) Randbetrachtung: p(4,5) = 1000, also absolute HP bei 0 und 4,5min, TP bei 3min (1) c) Abfall: 0 bis 3, Anstieg 3 bis 4,5 (Verweis auf Extremstellen aus Aufgabe b) (1) (2) (1) (2) (1) (1) (3) (2) (2) N.B. p"(t)=0 => t = 1,5 H.B. p(1,5)= 240> 0, also lokal größter Abfall (2) Randdiskussion: entweder p' an den Rändern p'(0)=0 und p'(4,5)=810 (2) Änderungsrate p'(1,5) = -270 mbar/min (3) (1) 40t³-180t²+250 = 0, t = -1,06 t=1,42; t = 4,13 => zwischen 1,42 und 4,13 min, also etwa 2,73min > 1min (3) (3) (2) (2) (2) (2) (1) 13 17 13 /14 13 /11 /4 19