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Trigonometria

Teoremi sui triangoli rettangoli, della corda, dei seni,formula goniometrica per l'area di un triangolo qualsiasi

9.100

•

7 lug 2025

•

2 pagine

Formule e Teoremi Trigonometrici

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Giuseppe

@peppe_

La trigonometria è un ramo fondamentale della matematica che ci... Mostra di più

TRIGONOMETRIA:
.TRIANGOLO RETTANGOLO:
b
a=90°
с
Il triangolo rettangolo è un triangolo formato da due lati chiamati cateti (b e c) che forma

Trigonometria del Triangolo Rettangolo

Caratteristiche del triangolo rettangolo

Il triangolo rettangolo è caratterizzato da:

Un angolo retto $α = 90°$
Due lati chiamati cateti $b e c$
Un lato opposto all'angolo retto chiamato ipotenusa $a$

Per il teorema di Pitagora, l'ipotenusa è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti:

a = √(b² + c²)

Concetto Chiave: In ogni triangolo, la somma degli angoli interni è sempre 180°. Nel triangolo rettangolo, poiché α = 90°, gli altri due angoli β e γ sono complementari: β + γ = 90°.

Area del triangolo rettangolo

L'area si calcola moltiplicando i due cateti e dividendo per 2:

A = (b·c)/2

Primo teorema sui triangoli rettangoli

In un triangolo rettangolo, possiamo calcolare:

Un cateto è uguale all'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto o per il coseno dell'angolo adiacente: b = a·sen β oppure b = a·cos γ c = a·sen γ oppure c = a·cos β
Formule inverse per trovare l'ipotenusa: a = b/sen β oppure a = b/cos γ a = c/sen γ oppure a = c/cos β
Formule inverse per trovare gli angoli: β = sen⁻¹ $b/a$ oppure β = cos⁻¹ $c/a$ γ = sen⁻¹ $c/a$ oppure γ = cos⁻¹ $b/a$

Secondo teorema sui triangoli rettangoli

Questo teorema ci permette di trovare relazioni tra i cateti:

Un cateto è uguale all'altro cateto moltiplicato per la tangente dell'angolo opposto al primo: b = c·tan β oppure c = b·tan γ
Formule inverse: c = b/tan β oppure b = c/tan γ β = tan⁻¹ $b/c$ oppure γ = tan⁻¹ $c/b$

Formula Importante: Le formule trigonometriche del triangolo rettangolo sono fondamentali per calcolare elementi incogniti conoscendo solo alcune misure. Per esempio, conoscendo un cateto e un angolo acuto, possiamo determinare tutti gli altri elementi.

Trigonometria dei Triangoli Qualsiasi

Area di un triangolo qualsiasi

L'area di un triangolo qualsiasi può essere calcolata utilizzando due lati e l'angolo compreso tra essi:

A = (1/2)·b·c·sin α = (1/2)·a·c·sin β = (1/2)·a·b·sin γ

Concetto Fondamentale: Questa formula è una generalizzazione della formula dell'area per i triangoli rettangoli e funziona per qualsiasi tipo di triangolo, sia esso acutangolo, ottusangolo o rettangolo.

Teorema dei seni

In un triangolo qualsiasi è costante il rapporto tra la misura di ciascun lato e il seno dell'angolo opposto:

a/sin α = b/sin β = c/sin γ

Questo teorema è particolarmente utile quando conosciamo:

Due angoli e un lato
Due lati e l'angolo opposto a uno di essi

Teorema Importante: Il teorema dei seni è uno strumento potente nella trigonometria dei triangoli qualsiasi e consente di determinare le misure incognite di un triangolo quando non è possibile utilizzare le formule del triangolo rettangolo.

Teorema del coseno

Il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell'angolo fra essi compreso:

a² = b² + c² - 2bc·cos α
b² = a² + c² - 2ac·cos β
c² = a² + b² - 2ab·cos γ

Questo teorema è utile quando conosciamo:

Tre lati $per trovare gli angoli$
Due lati e l'angolo compreso $per trovare il terzo lato$

Applicazione Pratica: Il teorema del coseno è una generalizzazione del teorema di Pitagora. Infatti, in un triangolo rettangolo con α = 90°, cos α = 0, quindi a² = b² + c², che è esattamente il teorema di Pitagora.

Prima relazione fondamentale della goniometria

cos²α + sin²α = 1

Da questa formula possiamo ricavare:

Il coseno, se è noto il seno: cos α = ±√ $1-sin²α$
Il seno, se è noto il coseno: sin α = ±√ $1-cos²α$

Il segno $+ o -$ dipende dal quadrante in cui si trova l'angolo α.

Formula Inversa: Le formule inverse del seno e coseno sono fondamentali per risolvere problemi di trigonometria quando conosciamo solo alcuni elementi del triangolo. È essenziale considerare il quadrante dell'angolo per determinare il segno corretto.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Il nostro assistente AI è costruito specificamente per le esigenze degli studenti. Sulla base dei milioni di contenuti presenti sulla piattaforma, possiamo fornire agli studenti risposte davvero significative e pertinenti. Ma non si tratta solo di risposte, l'assistente è in grado di guidare gli studenti attraverso le loro sfide quotidiane di studio, con piani di studio personalizzati, quiz o contenuti nella chat e una personalizzazione al 100% basata sulle competenze e sugli sviluppi degli studenti.

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4.9/5

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4.8/5

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L'applicazione è molto facile da usare e ben progettata. Finora ho trovato tutto quello che cercavo e ho potuto imparare molto dalle presentazioni! Utilizzerò sicuramente l'app per i compiti in classe! È molto utile anche come fonte di ispirazione.

Stefano S

utente iOS

Questa applicazione è davvero grande! Ci sono tantissimi appunti e aiuti con lo studio [...]. La mia materia problematica, per esempio, è il francese e l'app ha così tante opzioni per aiutarmi. Grazie a questa app ho migliorato il mio francese. La consiglio a tutti.

Samantha Klich

utente Android

Wow, sono davvero stupita. Ho appena provato l'app perché l'ho vista pubblicizzata molte volte e sono rimasta assolutamente sbalordita. Questa app è L'AIUTO che cercate per la scuola e soprattutto offre tantissime cose, come allenamenti e schede, che a me personalmente sono state MOLTO utili.

Anna

utente iOS

È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

utente Android

Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

utente Android

moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

utente Android

L'applicazione è semplicemente fantastica! Tutto ciò che devo fare è inserire l'argomento nella barra di ricerca e ottengo la risposta molto velocemente. Non devo guardare 10 video di YouTube per capire qualcosa, quindi risparmio tempo. Consigliatissima!

Sudenaz Ocak

utente Android

A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

utente Android

Knowunity è un applicazione fantastica,considerando che ha degli schemi veramente molto carini e sfiziosi e che ci sono dei quiz,oltre al fatto che questa cosa dell intelligenza artificiale "school gpt" è almeno per me molto utile, perché a differenza di Chatgpt ti da le spiegazioni, ti spiega ciò che non è chiaro! Posso studiare più velocemente tramite gli schemi e che posso pubblicare io stessa gli schemi è una funzione utilissima per gli altri studenti. Knowunity è PERFETTA

Aurora

utente Android

L’app funziona benissimo e puoi trovare qualsiasi tipo di informazione. Non ho l’abbonamento ma la parte gratuita è sufficiente per uno studio approfondito.

Martina

utente iOS

in questi ultimi mesi di scuola dove il tempo è ormai poco, mi sta aiutando molto perché piuttosto che farmi io gli schemi su quello che leggo sul libro guardo questi già fatti e li uso come ripasso piuttosto che rileggermi tutto il libro

Chiara

utente IOS

Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

Andrea

utente iOS

Stefano S

utente iOS

Samantha Klich

utente Android

Anna

utente iOS

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Martina

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Chiara

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Andrea

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Giuseppe

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La trigonometria è un ramo fondamentale della matematica che ci permette di risolvere problemi geometrici utilizzando relazioni tra angoli e lati dei triangoli. Questo argomento è essenziale per molte applicazioni pratiche, dalla fisica all'ingegneria, dall'architettura alla navigazione. In queste note... Mostra di più

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Trigonometria del Triangolo Rettangolo

Caratteristiche del triangolo rettangolo

Il triangolo rettangolo è caratterizzato da:

Un angolo retto $α = 90°$
Due lati chiamati cateti $b e c$
Un lato opposto all'angolo retto chiamato ipotenusa $a$

Per il teorema di Pitagora, l'ipotenusa è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti:

a = √(b² + c²)

Concetto Chiave: In ogni triangolo, la somma degli angoli interni è sempre 180°. Nel triangolo rettangolo, poiché α = 90°, gli altri due angoli β e γ sono complementari: β + γ = 90°.

Area del triangolo rettangolo

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A = (b·c)/2

Primo teorema sui triangoli rettangoli

In un triangolo rettangolo, possiamo calcolare:

Un cateto è uguale all'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto o per il coseno dell'angolo adiacente: b = a·sen β oppure b = a·cos γ c = a·sen γ oppure c = a·cos β
Formule inverse per trovare l'ipotenusa: a = b/sen β oppure a = b/cos γ a = c/sen γ oppure a = c/cos β
Formule inverse per trovare gli angoli: β = sen⁻¹ $b/a$ oppure β = cos⁻¹ $c/a$ γ = sen⁻¹ $c/a$ oppure γ = cos⁻¹ $b/a$

Secondo teorema sui triangoli rettangoli

Questo teorema ci permette di trovare relazioni tra i cateti:

Un cateto è uguale all'altro cateto moltiplicato per la tangente dell'angolo opposto al primo: b = c·tan β oppure c = b·tan γ
Formule inverse: c = b/tan β oppure b = c/tan γ β = tan⁻¹ $b/c$ oppure γ = tan⁻¹ $c/b$

Formula Importante: Le formule trigonometriche del triangolo rettangolo sono fondamentali per calcolare elementi incogniti conoscendo solo alcune misure. Per esempio, conoscendo un cateto e un angolo acuto, possiamo determinare tutti gli altri elementi.

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Trigonometria dei Triangoli Qualsiasi

Area di un triangolo qualsiasi

L'area di un triangolo qualsiasi può essere calcolata utilizzando due lati e l'angolo compreso tra essi:

A = (1/2)·b·c·sin α = (1/2)·a·c·sin β = (1/2)·a·b·sin γ

Concetto Fondamentale: Questa formula è una generalizzazione della formula dell'area per i triangoli rettangoli e funziona per qualsiasi tipo di triangolo, sia esso acutangolo, ottusangolo o rettangolo.

Teorema dei seni

In un triangolo qualsiasi è costante il rapporto tra la misura di ciascun lato e il seno dell'angolo opposto:

a/sin α = b/sin β = c/sin γ

Questo teorema è particolarmente utile quando conosciamo:

Due angoli e un lato
Due lati e l'angolo opposto a uno di essi

Teorema Importante: Il teorema dei seni è uno strumento potente nella trigonometria dei triangoli qualsiasi e consente di determinare le misure incognite di un triangolo quando non è possibile utilizzare le formule del triangolo rettangolo.

Teorema del coseno

a² = b² + c² - 2bc·cos α
b² = a² + c² - 2ac·cos β
c² = a² + b² - 2ab·cos γ

Questo teorema è utile quando conosciamo:

Tre lati $per trovare gli angoli$
Due lati e l'angolo compreso $per trovare il terzo lato$

Applicazione Pratica: Il teorema del coseno è una generalizzazione del teorema di Pitagora. Infatti, in un triangolo rettangolo con α = 90°, cos α = 0, quindi a² = b² + c², che è esattamente il teorema di Pitagora.

Prima relazione fondamentale della goniometria

cos²α + sin²α = 1

Da questa formula possiamo ricavare:

Il coseno, se è noto il seno: cos α = ±√ $1-sin²α$
Il seno, se è noto il coseno: sin α = ±√ $1-cos²α$

Il segno $+ o -$ dipende dal quadrante in cui si trova l'angolo α.

Formula Inversa: Le formule inverse del seno e coseno sono fondamentali per risolvere problemi di trigonometria quando conosciamo solo alcuni elementi del triangolo. È essenziale considerare il quadrante dell'angolo per determinare il segno corretto.

Pensavamo che non l'avreste mai chiesto....

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Anna

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

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È bellissima questa app, la adoro. È utilissima per lo studio e mi aiuta molto, anzi moltissimo, ma soprattutto mi aiutano molto i quiz, per memorizzare anche quello che non sapevo

Anastasia

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Fantastica per qualsiasi materia avere gli appunti anche di altre persone è molto utile perchè posso confrontarmi e vedere come migliorarmi. con i quiz riesco ad apprendere al meglio.

Francesca

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moooolto utile,gli appunti sono belli e funzionanti,schoolGPT da dei consigli formidabili!!

Marianna

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A scuola andavo malissimo in matematica, ma grazie a questa applicazione ora vado meglio. Vi sono molto grato per aver creato questa app.

Greenlight Bonnie

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Aurora

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Martina

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Chiara

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Questa app è una delle migliori, nient’altro da dire.

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