Ableitungen

Alternativer Bildtext:

= -2x²² u(x) = äußere Funktion v(+) = innere Funktion Sin f J^ -cos 7. sin = cos de 8-x-² f(x) = 4²³x² f(x) = 2x² f(x) = - 1²/² x ³² f(x) = g(x) + h'(x) ('(x) = 2x + 1 (allg. Regelung, nur zum Verständnis) (6-x 1² =2-(6-x) - ² ((x) = (4-x)² f(x)=3-(4-x)-² f'(x) = -6(4-x)-³ Grafisch ableiten Graph von f Steigung positiv Steigung gleich 0 Steigung negativ 2. Tangentengleichung Mit Hilfe des Funktionsterms Monolonie 3. Monotonie Krümmung allg. Tangenten gleichung: y = f'(a)(x-2) + f(a) Beispiel: f(A)= 2x³-4x -f(x) = 6x² - 4 -f(-1) = 2 -f'(-1) = ² - einsetzen in allg. Tangentengleichung -y=2. (x-(-1)) +2 = 2x14 I Krümmung verläuft oberhalb der x-Achse Graph von f' Nullstelle Schneidet die x-Achse Wenn für alle x aus einem Intervall I gill: TY Linksuurve 0 verläuft unterhalb der x-Achse P(-11 f(-1)) f'(x) >0, dann ist f auf I sms f(x) <0, dann ist f auf I smf Wenn für alle aus einem Intervall I gilt: f(x) > 0, dann ist f auf I links gekrümmt f"(x) <0, dann ist fouf I rechts gekrümmt. Rechlskurve wendepunut K • Die Extrempunkte einer Funktion f(x) sind gleich die Nullstellen der Ableitung. • Stellen an denen f(+) einen Sattelpunkt/ Terrassenpunut hat, werden zu Berührungspunkten von f(x) mit der x-Achse. Stellen an denen f(x) einen Wendepunkt hat, werden zu Extrempunkten des Graphen f'(x) mit Hilfe des Graphen y=m-x+c 1.m= f'(a) 2. E geht durch P - Punkt probe Beispiel: P(211) M=1 food 1. t=y=1-X1C 2. 1 = 1·1+C C=0 1=y=x+1 Monotonie verhallen untersuchen: 1. Ableitung bestimmen. 2. f'(x)=0 Nullstellen der Ableilung bestimmen. 3. Inter valle bestimmen. 4. Testwerte in f(x) einsetzen und Schlussfolgern Krümmungsverhalten untersuchen: 1. 2. Ableitung bilden 2. f"(x) = Nullstellen der Ableitung bestimmen Intervalle bestimmen. 3. 4. Testwerke in ("(x) einsetzen und schlussfolgern /ecul 4. Extrem- und wendepunkte Extremstellen 1. Vorzeichen-Wechsel Kriterium. • f hat an der Stelle xo eine If hat an der Stelle xo eine 2. Kriterium der 2. Ableilung Wendepunule f hat an der Stelle xo eine Maximum stelle, falls f'(x)=0 und f"(xo) <0. f hat an der Stelle xo eine Maximum stelle, falls f'(x)=0 und f" (x) > 0. - wenn f'brol = 0 + (" (+0) = 0, dann VZW- Kriterium Schritte zur Berechnung 1. 2. Ableitung bestimmen. 2. f'(x) -0 Nullstellen der Ableitung bestimmen - potentielle Wendestellen 3. 3. Ableitung bestimmen 4. Nullstellen der 2. Ableitung in die 3. Ableitung einsetzen f(x) +0, dann ist es eine wendestelle S. Nullstellen der 2. Ableilung in Grund funktion einsetzen un 4-Werle rauszubekommen - wenn Maximum stelle, falls f'(x) = 0 Minimumstelle, falls f'(x) = 0 5. Differenzialrechnung in sach situationen Sachzusammenhang Die Verkaufszahlen steigen Die Verkaufszahlen haben ein Absalz hoch. (4) (x) Beispiel: Verkaufs zahlen eines Products in einem bestimmten Zeitraum. Die Verkaufszahlen stagnieren (Nullwachstum") und f' bei to ein Vorzeichenwechsel von + zu- hat. und f' bei xo ein Vorzeichenwechsel von - zu + hat. 2119 Hilfen . Eigenschaften der Funktion f fist sms Hochpunkt Der Anstieg der Verkaufszahlen werdestelle mil positiver Steigung ist maximal Steigung= 0, waagerechte Tangente. Der Anstieg der Verkaufszahlen rechtskurve, mit positiver Steigung fällt zunehmend niedriger aus die 1. Ableitung gibt die Steigung einer Funktion an die 2. Ableitung gibt das Krümmungs verhalten einer Function an f NEW . f' f" NEW NEW (N= Nullstellen, E= Extremstellen, We wendestellen)