Aufgabe 3: Modellieren mit (Exponential)funktionen

Diese Aufgabe beschäftigt sich mit der Modellierung des Wachstums ökologischer Anbauflächen in Deutschland mittels einer Exponentialfunktion.

Die Schüler sollen anhand gegebener Daten einen geeigneten Funktionsterm f(x) = c·e^(kx) entwickeln. Dabei müssen sie die Parameter c und k bestimmen, um das Wachstum der Anbaufläche über die Jahre zu beschreiben.

Highlight: Die Modellierung realer Wachstumsprozesse durch Exponentialfunktionen ist eine wichtige Anwendung in der Mathematik.

Zusätzlich sollen die Schüler begründen, warum man mit Hilfe einer Modellierung durch eine Exponentialfunktion nicht bestimmen kann, wann die Anbaufläche 0 ha betrug.

Definition: Eine Exponentialfunktion nähert sich asymptotisch der x-Achse an, erreicht aber nie den Wert 0.

Diese Aufgabe verbindet theoretisches Wissen über Exponentialfunktionen mit praktischen Anwendungen und fördert das kritische Denken über die Grenzen mathematischer Modelle.

Aufgabe 2: Lage von Exponentialfunktionen

In dieser Aufgabe geht es um die Beschreibung von Transformationen der Exponentialfunktion f(x) = e^x. Die Schüler sollen erklären, wie verschiedene Funktionen aus der Grundfunktion hervorgehen.

Dabei sollen die Begriffe Streckung, Stauchung, Spiegelung und Verschiebung verwendet werden.

Vocabulary:

• Streckung: Vergrößerung des Funktionsgraphen
• Stauchung: Verkleinerung des Funktionsgraphen
• Spiegelung: Umkehrung des Graphen an einer Achse
• Verschiebung: Bewegung des gesamten Graphen

Example: f₁(x) = -e^x entsteht durch Spiegelung an der x-Achse.

Diese Aufgabe fördert das Verständnis für die geometrische Bedeutung von Parametern in Exponentialfunktionen und deren Auswirkungen auf den Funktionsgraphen.

Erwartungshorizont

Der Erwartungshorizont gibt einen Überblick über die erwarteten Lösungen und die Punkteverteilung für jede Aufgabe.

Für Aufgabe 1 wird die korrekte Bestimmung der ersten beiden Ableitungen sowie die Entwicklung einer Regel für weitere Ableitungen erwartet.

Bei Aufgabe 2 sollen die Transformationen der Exponentialfunktion korrekt beschrieben werden, einschließlich Streckung, Stauchung, Spiegelung und Verschiebung.

Für Aufgabe 3 wird die Modellierung des Wachstums der ökologischen Anbaufläche durch eine Exponentialfunktion erwartet, einschließlich der Bestimmung der Parameter c und k.

In Aufgabe 4 sollen die verschiedenen Aspekte des Bakterienwachstums korrekt berechnet werden.

Highlight: Der Erwartungshorizont dient als Richtlinie für die Bewertung und hilft den Schülern, ihre eigenen Lösungen einzuschätzen.

Diese detaillierte Aufschlüsselung der erwarteten Lösungen unterstützt eine faire und transparente Bewertung der Klausur.