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Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen (+ Ausarbeitung)

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 Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen
Nach dem Vorstellen der Gliederungspunkte wird ein Einstieg in das Thema
gegeben. Es wird klar ge
 Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen
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Julius Böhme

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Präsentation

In dieser Präsentation wird anhand von Beispielen erläutert, wie man Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen sowohl grafisch als auch rechnerisch lösen kann. :) Dazu gibt's auch eine schriftliche Ausarbeitung.

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Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Nach dem Vorstellen der Gliederungspunkte wird ein Einstieg in das Thema gegeben. Es wird klar gemacht, dass beim Lösen linearer Gleichungsssyste- me auf die selben Regeln zu achten ist, wie bei jeder anderen Gleichung auch: Es darf auf beiden Seiten das gleiche addiert beziehungsweise subtra- hiert werden, es darf auf beiden Seiten mit dem gleichen multipliziert bezie- hungsweise auch dividiert werden und Gleichungen dürfen addiert werden. Deutlich wird, dass das LGS 2 Variablen beinhaltet, welche durch 2 Gleichun- gen ausgedrückt werden. Es werden mehrere mögliche Fälle der Lösung des LGS aufgezeigt: 1. Zu Beginn der Normalfall, es gibt ein Lösungspaar für das LGS, dies entspricht dem Schnittpunkt der beiden Graphen von I.) und II.); 2. Das LGS hat keine Lösung, da sich die Gleichungen widersprechen: x + y kann nie gleichzeitig 20 und 15 sein!; 3. Das LGS hat unendlich viele Lösun- gen, da die beiden Gleichungen identisch sind: In diesem Beispiel ist die zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Zu Beginn wird die grafische Lösung eines LGS vorgestellt. Da es sich bei den Gleichungen schlichtweg um lineare Funktionen handelt, können diese sehr einfach in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Da die Gleich- ungen in diesem Beispiel jedoch noch nicht in der Grundform für lineare Gleichungen vorliegen, muss in die Form y=m*x+n umgeformt...

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werden. Da- nach wurden die beiden Gleichungen im Computer-Algebra-Programm „Geo- Gebra" grafisch dargestellt und der Schnittpunkt der Gleichungen wurde be- stimmt, er liegt auf dem Punkt P(10|3). Nach dem Durchführen einer Probe steht fest, dass diese Lösung richtig ist. Zur rechnerischen Lösungen von linearen Gleichungssystemen mit 2 Variab- len ist festzustellen, dass es hierzu 3 Möglichkeiten gibt. Grundsätzlich lässt sich jedes gegebene Lineare Gleichungssystem auch mit jeder der 3 Möglich- keiten lösen, jedoch stellt sich von Fall zu Fall eigentlich immer eine der 3 Methoden heraus, die sich individuell in diesem Fall als geschickteste er- weist. Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen des Sys- tems zuerst nach einer der beiden Variable aufgelöst. Danach werden die rechten Seiten (beziehungsweise die Seite, die nicht nach eine der beiden Variablen aufgelöst wurde) gleichgesetzt. In unserem Beispiel heißt das: x-6 = (2/3)x-1, da y=y ist (andere Seite). Danach wird auf diese Weise eine der beiden Bariablen so bestimmt, indem nach dieser Variablel umgestellt wird. Der erhaltene Term wird nun in die Ausgangsgleichung eingesetzt, um den Wert der zweiten Variable zu erhalten. In unserem Fall ist das Lösungspaar (also quasi der Schnittpunkt beider Graphen) x=15 und y=9. Es wird eine Pro- be durchgeführt. Beim Einsetzungsverfahren wird eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Der Wert, der dadurch ermittelt wird, wird anstelle der Variable in die andere Gleichung eingesetzt. Somit ist im Gleichungssys- tem nur noch eine Variable zu sehen. Nach dieser Variable wird dann umge- stellt. Dieser Schritt wurde hier nicht noch einmal näher betrachtet, da das Umstellen mittlerweile hoffentlich klar sein müsste. Der nun berechnete Wert für eine der beiden Variablen wird widerum in die andere Grundgleichung ein- gesetzt. Somit ergibt sich in unserem Beispiel das Lösungspaar x=1 und y=11. Auch hier gilt: Würde man dieses LGS grafisch darstellen, (Denn die beiden gegebenen Gleichungen sind immer lineare Funktionen!) dann wäre der Punkt P(1|11) der Schnittpunkt der beiden Graphen von I.) und II.). Auch hier bietet sich -wie so oft- eine Probe an, um die Ergebnisse zu überprüfen. Das Additionsverfahren wird von vielen als das komplizierteste der 3 Verfah- ren bezeichnet. Beide Gleichungen werden hierbei so addiert, dass eine der beiden Variablen wegfällt. Bevor dies getan werden kann, muss unter Um- ständen eine der beiden Gleichungen mit einer Zahl ungleich null multipliziert oder dividiert werden. In unserem Beispiel fällt die Variable x nach der Multi- plikation der ersten Gleichung mit 2 weg, denn: 2x + -2x = 0x = 0. Somit bleibt nach der Addition nur noch die Variable y übrig, hier: 12y = 24. Durch eine einfache Division lässt sich feststellen, dass y den Wert 2 haben muss. Auch hier wird zur Überprüfung der Lösung wieder eine Probe angefertigt. Die fol- gende Zusammenfassung erklärt kurz und knapp das Wichtigste zum Thema Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen. Wichtig zu wissen ist auch, dass Lineare Gleichungssysteme auch keine oder unendlich viele Lösungen haben können, wenn sich die beiden Graphen also nicht schneiden oder diese iden- tisch sind! Zum Schluss soll das Vorgetragene von den Zuhörern mittels einer Anwendungsaufgabe angewandt werden. Die dafür verwendete Aufgabe wur- de aus dem Intranet des Sächsischen Bildungsservers entnommen. Es ist die 8. Aufgabe aus dem hilfsmittelfreien Teil der BLF 2018, einer Prüfung, die alle sächsischen Zehntklässler an Gymnasien ablegen müssen. Hier muss das li- neare Gleichungssystem erst einmal aufgestellt werden, was sich durch ge- naues Lesen des Textes aber als relativ einfach erweist. Ich habe mich en- schieden, die Aufgabe mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens zu bearbeiten. Heraus kommt das Lösungspaar x=7 und y=5. Da x die Anzahl der Karten von Preisstufe 1 und y die Anzahl der Karten von Preisstufe 2 entspricht, ist festzustellen, dass der Schüler 7 Karten der Preisstufe 1 und 5 Karten der Preisstufe 2 kauft. Offen bleibt hier -wie bei vielen Matheaufgaben-, was ein einzelner, armer Schüler denn mit 12 Theaterkarten zum Preis von insgesamt 200 € überhaupt anstellen will. x), (j=1 SI AF = F(xo + AXo)= F(x0) I₁ = √ ª {x₂ ±yn } = {x₁ ± you X ₂ ± y ₂ - } x→a +4₂?.. } (√√n+2) ³—(3√5)² lim lim (₁₁2², lim (²√√n+2-³√5) = 12000 Se 424 n+∞o (√√n+2)² + (³√/n+2) =D (9±0) n∞0 10 [n]+1 h + [1]+1) [4+1], (1+1) n+1(4)-[(4)79 (1 + (²+1) Lineare If³(x) dx = Sπƒ²(x) dx = Gleichungssysteme ³ [3 + 20° x³ [ ²3 +3 ° √; (x) dx + C -²a²2"-³+... a?2^-}} (= limf(x), d=lim f(x), (j=1 x-→6 AF = F(xo` mit 2 Variablen J=₁ hochgeladen auf Knowunity von Julius Böhme Fri f f ; (x) dx + C az^-²+ a²z^-3 (970) Pn (2)= ao+9,2 Pn (z)= ao+9,2+...* a = 4(9=) (logax)' = lim_ loga(x+h)-logax lim loga (x+h) 1/h = lim loga = (1 + +)*/" lim = loga (1+2) 1/2 h-o x))" n-o ( aju; (x))' h→0 +9,2+...+ anz"> +h)- loga x Lad lim log Gliederung . 1 Grundlagen . 2 Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme (LGS) 3 Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssyssteme (LGS) - 3.1 Gleichsetzungsverfahren - 3.2 Einsetzungsverfahren - 3.3 Additionsverfahren • 4 Zusammenfassung • 5 Anwendungsbeispiel: Sachaufgabe 1 Grundlagen -es gelten die allgemeinen Regeln zum Umformen von Gleichungen -LGS besteht aus 2 Gleichungen und 2 Variablen -mehrere Fälle: 1. ein Lösungspaar Beispiel: 2. keine Lösung Beispiel: 1.) x II.) -2x (Normalfall) + 1,5 y = 2 + 9y + y + y 1.) x II.) x 3. unendlich viele Lösungen Beispiel: 1.) x + y II.) 2x + 2y = 20 (Widerspruch) = 20 = 15 (identische Gleichungen) = 10 = 20 2 Grafisches Lösen von LGS -beide Gleichungen können graphisch im kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden -Lösung ist der Schnittpunkt der beiden Geraden -Beispiel: 1.) 5y - x -4 3 2 y=0,2x-+-1¹ y=0,25-x+0.5 0 II.) 4y - x - 2 1.) y = 0,2 x +1 II.) y = 0,25 x + 0,5 -~ 2 3 ين = 5 = 0 1. Schritt: in Grundform y=mx+n umformen 5 6 2. Schritt: in Koordinatensystem einzeichnen 7 00 8 9 Schnitpunkt (1013) 10 11 12 13 14 2 Grafisches Lösen von LGS 3. Schritt: Dem Koordinatensystem den Schnittpunkt der beiden Geraden (Lösung) entnehmen X= 10 y= 3 I.) 5*(3) - (10) = 5 15 - 10 = 5 5 = 5 II.) 4*(3) - (10) - 2 12 12 = 0 = 4. Schritt: Probe durchführen, Einsetzen in Grundgleichung wahre Aussage 0 0 = 0 wahre Aussage Somit ist bewiesen, dass x=10 und y=3 das Lösungspaar dieses Linearen Gleichungssystems sind.

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Danach wird auf diese Weise eine der beiden Bariablen so bestimmt, indem nach dieser Variablel umgestellt wird. Der erhaltene Term wird nun in die Ausgangsgleichung eingesetzt, um den Wert der zweiten Variable zu erhalten. In unserem Fall ist das Lösungspaar (also quasi der Schnittpunkt beider Graphen) x=15 und y=9. Es wird eine Pro- be durchgeführt. Beim Einsetzungsverfahren wird eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Der Wert, der dadurch ermittelt wird, wird anstelle der Variable in die andere Gleichung eingesetzt. Somit ist im Gleichungssys- tem nur noch eine Variable zu sehen. Nach dieser Variable wird dann umge- stellt. Dieser Schritt wurde hier nicht noch einmal näher betrachtet, da das Umstellen mittlerweile hoffentlich klar sein müsste. Der nun berechnete Wert für eine der beiden Variablen wird widerum in die andere Grundgleichung ein- gesetzt. Somit ergibt sich in unserem Beispiel das Lösungspaar x=1 und y=11. Auch hier gilt: Würde man dieses LGS grafisch darstellen, (Denn die beiden gegebenen Gleichungen sind immer lineare Funktionen!) dann wäre der Punkt P(1|11) der Schnittpunkt der beiden Graphen von I.) und II.). Auch hier bietet sich -wie so oft- eine Probe an, um die Ergebnisse zu überprüfen. Das Additionsverfahren wird von vielen als das komplizierteste der 3 Verfah- ren bezeichnet. Beide Gleichungen werden hierbei so addiert, dass eine der beiden Variablen wegfällt. Bevor dies getan werden kann, muss unter Um- ständen eine der beiden Gleichungen mit einer Zahl ungleich null multipliziert oder dividiert werden. In unserem Beispiel fällt die Variable x nach der Multi- plikation der ersten Gleichung mit 2 weg, denn: 2x + -2x = 0x = 0. Somit bleibt nach der Addition nur noch die Variable y übrig, hier: 12y = 24. Durch eine einfache Division lässt sich feststellen, dass y den Wert 2 haben muss. Auch hier wird zur Überprüfung der Lösung wieder eine Probe angefertigt. Die fol- gende Zusammenfassung erklärt kurz und knapp das Wichtigste zum Thema Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen. Wichtig zu wissen ist auch, dass Lineare Gleichungssysteme auch keine oder unendlich viele Lösungen haben können, wenn sich die beiden Graphen also nicht schneiden oder diese iden- tisch sind! Zum Schluss soll das Vorgetragene von den Zuhörern mittels einer Anwendungsaufgabe angewandt werden. Die dafür verwendete Aufgabe wur- de aus dem Intranet des Sächsischen Bildungsservers entnommen. Es ist die 8. Aufgabe aus dem hilfsmittelfreien Teil der BLF 2018, einer Prüfung, die alle sächsischen Zehntklässler an Gymnasien ablegen müssen. Hier muss das li- neare Gleichungssystem erst einmal aufgestellt werden, was sich durch ge- naues Lesen des Textes aber als relativ einfach erweist. Ich habe mich en- schieden, die Aufgabe mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens zu bearbeiten. Heraus kommt das Lösungspaar x=7 und y=5. Da x die Anzahl der Karten von Preisstufe 1 und y die Anzahl der Karten von Preisstufe 2 entspricht, ist festzustellen, dass der Schüler 7 Karten der Preisstufe 1 und 5 Karten der Preisstufe 2 kauft. Offen bleibt hier -wie bei vielen Matheaufgaben-, was ein einzelner, armer Schüler denn mit 12 Theaterkarten zum Preis von insgesamt 200 € überhaupt anstellen will. x), (j=1 SI AF = F(xo + AXo)= F(x0) I₁ = √ ª {x₂ ±yn } = {x₁ ± you X ₂ ± y ₂ - } x→a +4₂?.. } (√√n+2) ³—(3√5)² lim lim (₁₁2², lim (²√√n+2-³√5) = 12000 Se 424 n+∞o (√√n+2)² + (³√/n+2) =D (9±0) n∞0 10 [n]+1 h + [1]+1) [4+1], (1+1) n+1(4)-[(4)79 (1 + (²+1) Lineare If³(x) dx = Sπƒ²(x) dx = Gleichungssysteme ³ [3 + 20° x³ [ ²3 +3 ° √; (x) dx + C -²a²2"-³+... a?2^-}} (= limf(x), d=lim f(x), (j=1 x-→6 AF = F(xo` mit 2 Variablen J=₁ hochgeladen auf Knowunity von Julius Böhme Fri f f ; (x) dx + C az^-²+ a²z^-3 (970) Pn (2)= ao+9,2 Pn (z)= ao+9,2+...* a = 4(9=) (logax)' = lim_ loga(x+h)-logax lim loga (x+h) 1/h = lim loga = (1 + +)*/" lim = loga (1+2) 1/2 h-o x))" n-o ( aju; (x))' h→0 +9,2+...+ anz"> +h)- loga x Lad lim log Gliederung . 1 Grundlagen . 2 Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme (LGS) 3 Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssyssteme (LGS) - 3.1 Gleichsetzungsverfahren - 3.2 Einsetzungsverfahren - 3.3 Additionsverfahren • 4 Zusammenfassung • 5 Anwendungsbeispiel: Sachaufgabe 1 Grundlagen -es gelten die allgemeinen Regeln zum Umformen von Gleichungen -LGS besteht aus 2 Gleichungen und 2 Variablen -mehrere Fälle: 1. ein Lösungspaar Beispiel: 2. keine Lösung Beispiel: 1.) x II.) -2x (Normalfall) + 1,5 y = 2 + 9y + y + y 1.) x II.) x 3. unendlich viele Lösungen Beispiel: 1.) x + y II.) 2x + 2y = 20 (Widerspruch) = 20 = 15 (identische Gleichungen) = 10 = 20 2 Grafisches Lösen von LGS -beide Gleichungen können graphisch im kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden -Lösung ist der Schnittpunkt der beiden Geraden -Beispiel: 1.) 5y - x -4 3 2 y=0,2x-+-1¹ y=0,25-x+0.5 0 II.) 4y - x - 2 1.) y = 0,2 x +1 II.) y = 0,25 x + 0,5 -~ 2 3 ين = 5 = 0 1. Schritt: in Grundform y=mx+n umformen 5 6 2. Schritt: in Koordinatensystem einzeichnen 7 00 8 9 Schnitpunkt (1013) 10 11 12 13 14 2 Grafisches Lösen von LGS 3. Schritt: Dem Koordinatensystem den Schnittpunkt der beiden Geraden (Lösung) entnehmen X= 10 y= 3 I.) 5*(3) - (10) = 5 15 - 10 = 5 5 = 5 II.) 4*(3) - (10) - 2 12 12 = 0 = 4. Schritt: Probe durchführen, Einsetzen in Grundgleichung wahre Aussage 0 0 = 0 wahre Aussage Somit ist bewiesen, dass x=10 und y=3 das Lösungspaar dieses Linearen Gleichungssystems sind.