Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen (+ Ausarbeitung)

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Zu Beginn der Normalfall, es gibt ein Lösungspaar für das LGS, dies entspricht dem Schnittpunkt der beiden Graphen von I.) und II.); 2. Das LGS hat keine Lösung, da sich die Gleichungen widersprechen: x + y kann nie gleichzeitig 20 und 15 sein!; 3. Das LGS hat unendlich viele Lösun- gen, da die beiden Gleichungen identisch sind: In diesem Beispiel ist die zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung. Zu Beginn wird die grafische Lösung eines LGS vorgestellt. Da es sich bei den Gleichungen schlichtweg um lineare Funktionen handelt, können diese sehr einfach in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Da die Gleich- ungen in diesem Beispiel jedoch noch nicht in der Grundform für lineare Gleichungen vorliegen, muss in die Form y=m*x+n umgeformt werden. Da- nach wurden die beiden Gleichungen im Computer-Algebra-Programm ,,Geo- Gebra" grafisch dargestellt und der Schnittpunkt der Gleichungen wurde be- stimmt, er liegt auf dem Punkt P(1013). Nach dem Durchführen einer Probe steht fest, dass diese Lösung richtig ist. Zur rechnerischen Lösungen von linearen Gleichungssystemen mit 2 Variab- len ist festzustellen, ass es hierzu 3 Möglichkeiten gibt. Grundsätzlich lässt sich jedes gegebene Lineare Gleichungssystem auch mit jeder der 3 Möglich- keiten lösen, jedoch stellt sich von Fall zu Fall eigentlich immer eine der 3 Methoden heraus, die sich individuell in diesem Fall als geschickteste er- weist. Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen des Sys- tems zuerst nach einer der beiden Variable aufgelöst. Danach werden die rechten Seiten (beziehungsweise die Seite, die nicht nach eine der beiden Variablen aufgelöst wurde) gleichgesetzt. In unserem Beispiel heißt das: x-6 (2/3)x-1, da y-y ist (andere Seite). Danach wird auf diese Weise eine der beiden Bariablen so bestimmt, indem nach dieser Variablel umgestellt wird. Der erhaltene Term wird nun in die Ausgangsgleichung eingesetzt, um den Wert der zweiten Variable zu erhalten. In unserem Fall ist das Lösungspaar (also quasi der Schnittpunkt beider Graphen) x=15 und y=9. Es wird eine Pro- be durchgeführt. = Beim Einsetzungsverfahren wird eine der beiden Gleichungen nach einer der beiden Variablen aufgelöst. Der Wert, der dadurch ermittelt wird, wird anstelle der Variable in die andere Gleichung eingesetzt. Somit ist im Gleichungssys- tem nur noch eine Variable zu sehen. Nach dieser Variable wird dann umge- stellt. Dieser Schritt wurde hier nicht noch einmal näher betrachtet, da das Umstellen mittlerweile hoffentlich klar sein müsste. Der nun berechnete Wert für eine der beiden Variablen wird widerum in die andere Grundgleichung ein- gesetzt. Somit ergibt sich in unserem Beispiel das Lösungspaar x=1 und y=11. Auch hier gilt: Würde man dieses LGS grafisch darstellen, (Denn die beiden gegebenen Gleichungen sind immer lineare Funktionen!) dann wäre der Punkt P(1|11) der Schnittpunkt der beiden Graphen von I.) und II.). Auch hier bietet sich -wie so oft- eine Probe an, um die Ergebnisse zu überprüfen. Das Additionsverfahren wird von vielen als das komplizierteste der 3 Verfah- ren bezeichnet. Beide Gleichungen werden hierbei so addiert, dass eine der beiden Variablen wegfällt. Bevor dies getan werden kann, muss unter Um- ständen eine der beiden Gleichungen mit einer Zahl ungleich null multipliziert oder dividiert werden. In unserem Beispiel fällt die Variable x nach der Multi- plikation der ersten Gleichung mit 2 weg, denn: 2x + -2x = 0x = 0. Somit bleibt nach der Addition nur noch die Variable y übrig, hier: 12y = 24. Durch eine einfache Division lässt sich feststellen, dass y den Wert 2 haben muss. Auch hier wird zur Überprüfung der Lösung wieder eine Probe angefertigt. Die fol- gende Zusammenfassung erklärt kurz und knapp das Wichtigste zum Thema Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen. Wichtig zu wissen ist auch, dass Lineare Gleichungssysteme auch keine oder unendlich viele Lösungen haben können, wenn sich die beiden Graphen also nicht schneiden oder diese iden- tisch sind! Zum Schluss soll das Vorgetragene von den Zuhörern mittels einer Anwendungsaufgabe angewandt werden. Die dafür verwendete Aufgabe wur- de aus dem Intranet des Sächsischen Bildungsservers entnommen. Es ist die 8. Aufgabe aus dem hilfsmittelfreien Teil der BLF 2018, einer Prüfung, die alle sächsischen Zehntklässler an Gymnasien ablegen müssen. Hier muss das li- neare Gleichungssystem erst einmal aufgestellt werden, was sich durch ge- naues Lesen des Textes aber als relativ einfach erweist. Ich habe mich en- schieden, die Aufgabe mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens zu bearbeiten. Heraus kommt das Lösungspaar x=7 und y=5. Da x die Anzahl der Karten von Preisstufe 1 und y die Anzahl der Karten von Preisstufe 2 entspricht, ist festzustellen, dass der Schüler 7 Karten der Preisstufe 1 und 5 Karten der Preisstufe 2 kauft. Offen bleibt hier -wie bei vielen Matheaufgaben-, was ein einzelner, armer Schüler denn mit 12 Theaterkarten zum Preis von insgesamt 200 € überhaupt anstellen will. ■ ■ Gliederung 1 Grundlagen 2 Grafisches Lösen linearer Gleichungssysteme (LGS) 3 Rechnerisches Lösen linearer Gleichungssyssteme (LGS) - 3.1 Gleichsetzungsverfahren - 3.2 Einsetzungsverfahren - 3.3 Additionsverfahren • 4 Zusammenfassung • 5 Anwendungsbeispiel: Sachaufgabe 1 Grundlagen -es gelten die allgemeinen Regeln zum Umformen von Gleichungen -LGS besteht aus 2 Gleichungen und 2 Variablen -mehrere Fälle: 1. ein Lösungspaar Beispiel: 2. keine Lösung Beispiel: 3. 1.) x II.) -2x (Normalfall) + 1,5 y = 2 +9y = 20 (Widerspruch) = 20 = 15 (identische Gleichungen) = 10 = 20 1.) x + y II.) x + y unendlich viele Lösungen Beispiel: 1.) x + Y II.) 2x + 2y 2 Grafisches Lösen von LGS -beide Gleichungen können graphisch im kartesischen Koordinatensystem dargestellt werden -Lösung ist der Schnittpunkt der beiden Geraden -Beispiel: I.) 5y - x II.) -4 3 2 y=0,2x-+-1¹ y=0,25-x+05 -1 0 1.) II.) 1 4y - x - 2 y = 0,2 x +1 y = 0,25 x + 0,5 2 3 = 5 = 0 4 = 5 6 1. Schritt: in Grundform y=mx+n umformen 2. Schritt: in Koordinatensystem einzeichnen 7 8 9 Schnitpunkt (1013) 10 11 12 13 14 2 Grafisches Lösen von LGS 3. Schritt: Dem Koordinatensystem den Schnittpunkt der beiden Geraden (Lösung) entnehmen X= 10 y= 3 I.) 5*(3) (10) = 5 = 5 = 5 15 - 10 5 II.) 4*(3) 12 4. Schritt: Probe durchführen, Einsetzen in Grundgleichung = wahre Aussage (10) - 2 = 0 12 = 0 0 = 0 wahre Aussage Somit ist bewiesen, dass x=10 und y-3 das Lösungspaar dieses Linearen Gleichungssystems sind. 3 Rechnerisches Lösen von LGS 3.1 Das Gleichsetzungsverfahren -beide Gleichungen werden nach der gleichen Variable aufgelöst -rechte Seiten der Gleichungen werden im Folgenden gleichgesetzt -eine der 2 Variablen wird so bestimmt -diese Variable wird zum Erhalten der 2. Variable in die Ausgangsgleichung eingesetzt -Beispiel: 1.) x -y = 6 II.) (2/3)x-y= 1 1.) y = x-6 II.) y = (2/3)x - 1 X-6 (1/3)x X =(2/3)x -1 = 5 = 15 1. Schritt: beide Gleichungen nach y auflösen 2. Schritt: rechte Seiten gleichsetzen und nach x auflösen 1-(2/3)x+6 |:(1/3) 3 Rechnerisches Lösen von (15)-y= 6 y = 9 Es ergibt sich somit das Lösungspaar x=15 und y=9. I.) (15) - (9) 6 II.) (2/3)*(15) 10 LGS 3. Schritt: x=15 in Gleichung einsetzen, nach y auflösen .9 - 66 .9 1 4. Schritt: Probe durch Einsetzen in Grundgleichung = 6 6 II = = 1 1 1 wahre Aussage wahre Aussage 3 Rechnerisches Lösen von 3.2 Das Einsetzungsverfahren -eine Gleichung wird nach einer Variable aufgelöst - der berechnete Wert der Variable wird in die andere Gleichung eingesetzt, es exisitiert nun faktisch nur noch eine Variable -andere Gleichung wird nach der noch vorhandenen Variable aufgelöst -der berechete Wert wird in eine der Grundgleichungen eingesetzt -Beispiel: I.) y - 3x = 8 = 12 II.) x + y 1.) y = 3x + 8 II.) x + y II.) = 12 x + y x + (3x+8) 4x + 8 X LGS = = 12 = : 12 : 12 1 = 1. Schritt: I.) nach y auflösen 2. Schritt: y = 3x + 8 in II.) einsetzen, nach x auflösen 3 Rechnerisches Lösen von = 12 11 II.) (1) + y у Es ergibt sich somit das Lösungspaar x=1 und y=11. = I.) (11) - 3*(1) 11 - 3 8 LGS II.) (1) + (11) 12 = = = |||| = 3. Schritt: x = 1 in II.) einsetzen, nach y auflösen = 4. Schritt: Probe durch Einsetzen in Grundgleichung 8 8 8 wahre Aussage 12 12 wahre Aussage 3 Rechnerisches Lösen von LGS 3.3 Das Additionsverfahren -beide Gleichungen werden so addiert, dass eine der beiden Variablen entfällt -die erhaltene Gleichung mit einer Variablen wird nach dieser aufgelöst - der berechnete Wert wird in eine der Ausgangsgleichungen eingesetzt - der Wert der zweiten Variable wird so bestimmt -Beispiel: I.) x + 1,5y II.) -2x + 9y 1.) 2x + 3y II.) -2x + 9y 1.) 2x + 3y II.) -2x +9y 0 + 12y Da 12y = 24 ist y = 2 = 2 = 20 = = 4 = 20 = = 4 = 20 = 24 1. Schritt: I.) mit 2 multiplizieren, damit x bei der Addition entfallen kann 2. Schritt: Gleichungen addieren 3 Rechnerisches Lösen von I.) x + 1,5*(2) x + 3 X I.) (-1) + 1,5*(2) -1 + 3 2 LGS = 2 = 2 = -1 Es ergibt sich somit das Lösungspaar x=-1 und y=2. II.) -2*(-1) +9* (2) 2 + 18 20 = = = = 3. Schritt: y=2 in 1.) einsetzen, nach x auflösen = 4. Schritt: Probe durch Einsetzen in Grundgleichung 2 2 2 wahre Aussage 20 20 20 wahre Aussage 4 Zusammenfassung grafisches Lösen -Umstellen in Form y=m*x+n; Schnittpunkt ablesen Gleichsetzungsverfahren -Auflösen der rechten Seite nach einer Variable; Gleichsetzung -Bestimmen der 2. Variable durch Einsetzen der 1. in Ausgangsgleichung Einsetzungsverfahren -eine Gleichung wird nach einer Variabe aufgelöst -erhaltener Term wird in 2. Gleichung eingesetzt -Auflösung nach der 2. Variablen Additionsverfahren - Multiplikation/Division einer der beiden Zahlen mit einr Zahl #0 - Addition beider Gleichungen, sodass eine Variable wegfällt - Auflösen nach verbliebener Variable - Einsetzen der Variable un Ausgangsgleichung, Bestimmung der 2. Variable -LGS können keine, eine (Lösungspaar) oder unendlich viele Lösungen haben! Jetzt seid ihr dran! Löst selbstständig. Die folgende Anwedungsaufgabe wurde entnommen aus der sächsischen BLF-Prüfung für Gymnasisten der 10. Klasse, Jahrgang 2017/2018, Teil A (hilfsmittelfreier Teil), Aufgabe 8. 5 Sachaufgabe „Ein Schüler kauft für ein Konzert Karten der Preisstufe I zum Preis von jeweils 20 Euro und Karten der Preisstufe II zum Preis von jeweils 12 Euro. Er bezahlt für insgesamt 12 Karten 200 Euro. Ermitteln Sie, wie viele Karten der Schüler von jeder Preisstufe gekauft hat." gegeben: 12 Karten insgesamt für 200 € - Preisstufe 1: eine Karte für 20 € - Preisstufe 2: eine Karte für 12 € gesucht: - Anzahl erworbener Karten jeder Preisstufe (Preisstufe 1: x; Preisstufe 2: y) Lösung: 1. Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems --> Die Summe aller gekauften Karten ist 12. 1.) X +y = 12 --> Der Gesamtpreis der gekauften Karten ist 200 €. Eine Karte von Preisstufe 1 kostet 20 €, eine Karte von Stufe 2 kostet 12 €. II.) 20x + 12y = 200 € Lösung mit dem x + y = 12 I.) X = 12 - Y Einsetzen in II.): 20* (12- y) + 12 y 240 - 20 y + 12 y -8y у Einsetzen in I.): = 12 - (5) = 7 X X Einsetzungsverfahren: l-y 5 Sachaufgabe = = 200 200 -40 |-240; zusammenfassen 1:(-8) Antwort: Der Schüler kauft 7 Karten der Preisstufe 1 und 5 Karten der Preisstufe 2. Quellen (abgerufen am 31.1.2020 um 14 Uhr) Titelbild: https://www.pixelstalk.net/wp-content/uploads/2016/05/Formula-math-text-texture-wallpaper-620x388.jpg Abbild des kartesischen Koordinatensystems: Screenshot aus dem Programm „GeoGebra"