Lösungen zu den Aufgaben

Dieser Abschnitt präsentiert detaillierte Lösungen zu den zuvor gestellten Aufgaben. Die Lösungen bieten Schritt-für-Schritt-Erklärungen und zeigen die praktische Anwendung der Formeln für Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.

Für die Glücksrad-Aufgabe wird gezeigt, dass:

• Der Spieler im Durchschnitt 50 Cent pro Spiel verliert.
• Die Standardabweichung 1 beträgt.
• Ein fairer Einsatz 1 Euro wäre.

Highlight: Die Lösungen demonstrieren, wie man die Fairness von Glücksspielen mathematisch beurteilen kann.

Für das Würfelspiel mit zwei Würfeln wird die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben und der Erwartungswert, die Varianz sowie die Standardabweichung berechnet.

Example: Für das Würfelspiel ergibt sich ein Erwartungswert von etwa -3,06 und eine Standardabweichung von ungefähr 2,13.

Die Lösung zur dritten Aufgabe zeigt, dass das Spiel nicht fair ist, da der durchschnittliche Gewinn pro Spiel etwa 17 Cent beträgt.

Abschließend wird die Lösung zur Binomialverteilungs-Aufgabe präsentiert, bei der für 100 Torschüsse mit 10% Trefferwahrscheinlichkeit ein Erwartungswert von 10 und eine Standardabweichung von 3 berechnet werden.

Diese Lösungen bieten wertvolle Einblicke in die praktische Anwendung stochastischer Konzepte und fördern das Verständnis für Wahrscheinlichkeitsverteilungen und deren Eigenschaften.

Binomialverteilung und erweiterte Konzepte

Dieser Abschnitt führt in die Binomialverteilung ein, ein wichtiges Konzept in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es werden die Formeln für den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung bei binomialverteilten Zufallsgrößen vorgestellt:

E(X) = μ = n · p Var(X) = μ · (1-p) = n · p · (1-p) σ = √(n · p · (1-p))

Vocabulary: Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei einer festen Anzahl unabhängiger Versuche mit jeweils zwei möglichen Ausgängen.

Ein Beispiel mit Kugeln in einer Urne veranschaulicht die Anwendung dieser Formeln. Dabei wird die Anzahl der gezogenen roten Kugeln bei 20 Ziehungen mit Zurücklegen betrachtet.

Example: Bei einer Wahrscheinlichkeit von 1/20 für eine rote Kugel und 20 Ziehungen ergibt sich ein Erwartungswert von 1 und eine Standardabweichung von etwa 0,97.

Zusätzlich wird eine Aufgabe gestellt, bei der der Erwartungswert und die Standardabweichung für 100 Torschüsse mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von 10% berechnet werden sollen. Diese Aufgabe soll ohne Taschenrechner gelöst werden, was das Verständnis für die zugrunde liegenden Konzepte fördert.