Verkettung von Funktionen Mathe

Johannes Kreuzer

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11/12/10

Ausarbeitung

Ausarbeitung zum Thema Verkettung von Funktionen im Fach Mathematik

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1.Einleitung: Zwei Funktionen u und v – können auf verschiedene Arten (Grundrechenarten) kombiniert werden, um eine neue Funktion zu bilden: Addition: u+v, (u+v)(x)=u(x)+v(x) VERKETTUNG VON FUNKTIONEN Summe von u und v Subtraktion: u-v, (u-v) (x) =u(x)-v(x) Differenz von u und v Multiplikation: uv, (u v) (x) = u(x) v(x) Produkt von u und v Division: u/v, u/v (x) = u(x)/v(x) Quotient von u und v. Manchmal benötigt man eine weitere Möglichkeit, aus vorhandenen Funktionen neue Funktionen zu erzeugen. 2.Definition: Gegeben sind die Funktionen u und v. Wenn die Funktionen u und v in der Form_u(v(x)) miteinander verknüpft werden, spricht man von Verkettung (manchmal auch Komposition, Hinter- einanderschaltung oder Hintereinanderausführung genannt ) von u und v. Die Funktion u v mit (u_v)(x)=u(v(x)) heißt Verkettung von u und v. Dabei wird im Funktionsterm der Funktion u jedes x durch v(x) ersetzt. Es wird gelesen: ,,u verkettet mit v" oder ,, u nach v“. v nennt man innere Funktion und u äußere Funktion. Auch wenn es für uns meistens nur von Interesse ist, zwei Funktionen miteinander zu verketten so ist es möglich, dies mit einer beliebigen Anzahl an Funktionen miteinander verketten. (u_v_w) (x) = u(v(w(x))) Beispiel: aus u(x)=sin(x) und v(x)=2x wird f(x)=sin(2x) gebildet da - Die Verkettung von Funktionen ist ein wichtiger Teil der Analysis, in der häufig erkannt werden muss, das eine Funktion als Verkettung von zwei Funktionen geschrieben...

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werden kann. - 3.Eigenschaften Assoziativität Die Verkettung von Funktionen ist assoziativ, das heißt für Funktionen u, v und w gilt: (w_v) u=w (v 1) ((w v) u) (x) = ((w_v) u(x)) w (v(u (x))) (w (v u)) (x) = w ((v u) (x)) = w (v (u (x))) also 4. Quellen Kommutativität Die Verkettung von Funktionen ist im Allgemeinen nicht kommutativ; beispielsweise gilt für die Funktion u(x)=x_und v(x)=x+1 x +2x +1 = x + 1 = (u_v)(x)= u(x+1)=(x+1) = x + 2x +1 (v_u)(x) =v(x)= x +1 1.http://matheguru.com/allgemein/152-verkettung-von-funktionen.html 2.https://de.wikipedia.org/wiki/Komposition_(Mathematik) 3.Lambacher Schweizer-Mathematik für Gymnasien-Kursstufe- von Rolf Dürr, Dieter Greulich, Frieder Haug, Maren Herrmann, Detlef Hoche, Michael Kölle, Rebecca Roy, Torsten Schatz, Alexander Wollmann - Klett Verlag

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