Exponentialfunktionen & Wachstum

Zunahme und Abnahme

Der Wert ändert sich in gleichen Schritten immer um denselben Faktor $a$.

• Wachstumsfaktor $a > 1$: Exponentielle Zunahme, berechnet über $a = 1 + p$.
• Wachstumsfaktor $0 < a < 1$: Exponentielle Abnahme, berechnet über $a = 1 - p$.
• Anfangsbestand $c$: Der Wert zum Zeitpunkt Null, also $f(0) = c$.

Berechnungen im Sachzusammenhang

Wachstumsfaktoren und Zeiträume lassen sich durch gezieltes Umformen bestimmen.

• Faktor $a$ gesucht: Potenzgleichung mittels Wurzelziehen lösen.
• Zeit $x$ gesucht: Exponentialgleichung aufstellen, die den Exponenten isoliert.

Beispiel: $50 \cdot a^3 = 10,8 \Rightarrow a^3 = 0,216 \Rightarrow a = \sqrt[3]{0,216} = 0,6$

💡 Tipp: Ein negativer Exponent wie bei $f(-1)$ beschreibt den Bestand in der Vergangenheit.

Logarithmus & Eigenschaften

Der Logarithmus

Der Logarithmus ist das Werkzeug, um Exponentialgleichungen der Form $a^x = b$ nach $x$ aufzulösen.

• Definition: $x = \log_{a}(b)$ ist die Zahl, mit der man $a$ potenzieren muss, um $b$ zu erhalten.
• Rechenweg: Im Taschenrechner nutzt du oft die Formel $x = \frac{\log(b)}{\log(a)}$.

Eigenschaften & Graphen

• Keine Nullstellen: Die Graphen verlaufen immer oberhalb der $x$-Achse.
• Y-Achsenabschnitt: Jeder Graph der Form $f(x) = c \cdot a^x$ geht durch den Punkt $P(0|c)$.

Beispiel: $0,6^x = 0,1 \Rightarrow x = \log_{0,6}(0,1) \approx 4,51$

💡 Tipp: Wenn der Wachstumsfaktor $a > 1$ ist, steigt der Graph; für $a < 1$ fällt er.