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Funktionen und analysis

Formen von quadratischen funktionen

Nullstellenform

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8. Apr. 2021

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Wie du Nullstellen ganzrationaler Funktionen einfach berechnest - Übungen und Lösungen

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Johanna

@j0hannaa

Nullstellen ganzrationaler Funktionensind ein zentrales Thema in der Mathematik.... Mehr anzeigen

1.6 Nullstellen ganzrationaler Funktionen Rechts ist der Graph der ganzrationalen Funktion f mit f(x)=x³-6x + 8x abgebildet. Der Graph von f

Anwendung der Substitutionsmethode bei komplexeren ganzrationalen Funktionen

Diese Seite konzentriert sich auf die detaillierte Anwendung der Substitutionsmethode zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Am Beispiel der Funktion fxx = x⁴ - 13x² + 36 wird der Prozess Schritt für Schritt erläutert.

Beispiel: Für die Funktion fxx = x⁴ - 13x² + 36 wird die Substitution x² = u angewendet, was zu der quadratischen Gleichung u² - 13u + 36 = 0 führt.

Der Lösungsprozess umfasst folgende Schritte:

  1. Anwendung der pq-Formel auf die substituierte Gleichung.
  2. Berechnung der Lösungen für u u1=9undu2=4u₁ = 9 und u₂ = 4.
  3. Resubstitution, um die ursprünglichen x-Werte zu erhalten.

Highlight: Die Resubstitution x² = u führt zu vier Lösungen: x₁₍₂ = ±3 und x₃₍₄ = ±2.

Diese Methode ist besonders nützlich für Gleichungen der Form x⁴ + px² + q = 0, da sie diese auf eine lösbare quadratische Form reduziert.

Vocabulary: Resubstitution bezeichnet den Prozess, bei dem die ursprüngliche Variable hierxhier x wieder in die Gleichung eingesetzt wird, nachdem die substituierte Gleichung gelöst wurde.

Die Seite demonstriert, wie die Substitutionsmethode komplexe Gleichungen vierten Grades auf handhabbare quadratische Gleichungen reduziert und somit die Berechnung von Nullstellen erheblich vereinfacht.

1.6 Nullstellen ganzrationaler Funktionen Rechts ist der Graph der ganzrationalen Funktion f mit f(x)=x³-6x + 8x abgebildet. Der Graph von f

Nullstellen ganzrationaler Funktionen: Grundlagen und Berechnungsmethoden

Diese Seite führt in das Konzept der Nullstellen ganzrationaler Funktionen ein und erläutert die wichtigsten Berechnungsmethoden. Zunächst wird anhand eines Beispielgraphen einer ganzrationalen Funktion fxx = x³ - 6x² + 8x das Konzept der Nullstellen visualisiert.

Definition: Eine Nullstelle ist die x-Koordinate eines Schnittpunkts des Funktionsgraphen mit der x-Achse und entspricht der Lösung der Gleichung fxx = 0.

Es werden drei wesentliche Verfahren zur Lösung der Gleichung fxx = 0 für ganzrationale Funktionen vorgestellt:

  1. pq-Formel: Diese Methode wird für quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0 verwendet.
  2. Satz vom Nullprodukt: Dieser Satz besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist. Er kann auf zwei Arten angewendet werden: a) Bei Termen in Produktform werden die Nullstellen der einzelnen Faktoren untersucht. b) Bei Termen in Summenform, bei denen jeder Summand x enthält, kann x ausgeklammert und der Satz angewendet werden.
  3. Substitution: Bei Gleichungen der Form x⁴ + px² + q = 0 kann die Substitution x² = u hilfreich sein. Dies führt zu einer quadratischen Gleichung in u, die mit der pq-Formel gelöst werden kann.

Highlight: Die vorgestellten Methoden können auch zur Berechnung der Schnittpunkte zweier ganzrationaler Funktionen verwendet werden, indem man die Gleichung fxx = gxx zu fxx - gxx = 0 umstellt.

Die Seite enthält zudem mehrere Beispiele, die die Anwendung dieser Methoden demonstrieren, darunter die Berechnung von Nullstellen für Funktionen wie fxx = x³ - 6x² + 5x und fxx = x³ + x.



Nichts passendes dabei? Erkunde andere Fachbereiche.

Schüler:innen lieben uns — und du wirst es auch.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

iOS user

Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

iOS user

Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

iOS user

Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

Android user

Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

Android user

Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

Android user

Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

iOS user

Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

Android user

Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

iOS user

Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

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Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

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Johanna

@j0hannaa

Nullstellen ganzrationaler Funktionen sind ein zentrales Thema in der Mathematik. Diese Zusammenfassung erklärt die wichtigsten Konzepte und Methoden zur Berechnung von Nullstellen.

  • Nullstellen sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte einer Funktion mit der x-Achse.
  • Drei Hauptmethoden zur Berechnung: pq-Formel, Satz... Mehr anzeigen

1.6 Nullstellen ganzrationaler Funktionen Rechts ist der Graph der ganzrationalen Funktion f mit f(x)=x³-6x + 8x abgebildet. Der Graph von f

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Anwendung der Substitutionsmethode bei komplexeren ganzrationalen Funktionen

Diese Seite konzentriert sich auf die detaillierte Anwendung der Substitutionsmethode zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Am Beispiel der Funktion fxx = x⁴ - 13x² + 36 wird der Prozess Schritt für Schritt erläutert.

Beispiel: Für die Funktion fxx = x⁴ - 13x² + 36 wird die Substitution x² = u angewendet, was zu der quadratischen Gleichung u² - 13u + 36 = 0 führt.

Der Lösungsprozess umfasst folgende Schritte:

  1. Anwendung der pq-Formel auf die substituierte Gleichung.
  2. Berechnung der Lösungen für u u1=9undu2=4u₁ = 9 und u₂ = 4.
  3. Resubstitution, um die ursprünglichen x-Werte zu erhalten.

Highlight: Die Resubstitution x² = u führt zu vier Lösungen: x₁₍₂ = ±3 und x₃₍₄ = ±2.

Diese Methode ist besonders nützlich für Gleichungen der Form x⁴ + px² + q = 0, da sie diese auf eine lösbare quadratische Form reduziert.

Vocabulary: Resubstitution bezeichnet den Prozess, bei dem die ursprüngliche Variable hierxhier x wieder in die Gleichung eingesetzt wird, nachdem die substituierte Gleichung gelöst wurde.

Die Seite demonstriert, wie die Substitutionsmethode komplexe Gleichungen vierten Grades auf handhabbare quadratische Gleichungen reduziert und somit die Berechnung von Nullstellen erheblich vereinfacht.

1.6 Nullstellen ganzrationaler Funktionen Rechts ist der Graph der ganzrationalen Funktion f mit f(x)=x³-6x + 8x abgebildet. Der Graph von f

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Nullstellen ganzrationaler Funktionen: Grundlagen und Berechnungsmethoden

Diese Seite führt in das Konzept der Nullstellen ganzrationaler Funktionen ein und erläutert die wichtigsten Berechnungsmethoden. Zunächst wird anhand eines Beispielgraphen einer ganzrationalen Funktion fxx = x³ - 6x² + 8x das Konzept der Nullstellen visualisiert.

Definition: Eine Nullstelle ist die x-Koordinate eines Schnittpunkts des Funktionsgraphen mit der x-Achse und entspricht der Lösung der Gleichung fxx = 0.

Es werden drei wesentliche Verfahren zur Lösung der Gleichung fxx = 0 für ganzrationale Funktionen vorgestellt:

  1. pq-Formel: Diese Methode wird für quadratische Gleichungen der Form x² + px + q = 0 verwendet.
  2. Satz vom Nullprodukt: Dieser Satz besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist. Er kann auf zwei Arten angewendet werden: a) Bei Termen in Produktform werden die Nullstellen der einzelnen Faktoren untersucht. b) Bei Termen in Summenform, bei denen jeder Summand x enthält, kann x ausgeklammert und der Satz angewendet werden.
  3. Substitution: Bei Gleichungen der Form x⁴ + px² + q = 0 kann die Substitution x² = u hilfreich sein. Dies führt zu einer quadratischen Gleichung in u, die mit der pq-Formel gelöst werden kann.

Highlight: Die vorgestellten Methoden können auch zur Berechnung der Schnittpunkte zweier ganzrationaler Funktionen verwendet werden, indem man die Gleichung fxx = gxx zu fxx - gxx = 0 umstellt.

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

Stefan S

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

Samantha Klich

Android user

Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

Anna

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Ich finde Knowunity so grandios. Ich lerne wirklich für alles damit. Es gibt so viele verschiedene Lernzettel, die sehr gut erklärt sind!

Jana V

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

Lena M

Android user

Ich finde Knowunity ist eine super App. Für die Schule ist sie ideal , wegen den Lernzetteln, Quizen und dem AI. Das gute an AI ist , dass er nicht direkt nur die Lösung ausspuckt sondern einen Weg zeigt wie man darauf kommt. Manchmal gibt er einem auch nur einen Tipp damit man selbst darauf kommt . Mir hilft Knowunity persönlich sehr viel und ich kann sie nur weiterempfehlen ☺️

Timo S

iOS user

Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

Sudenaz Ocak

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Diese App hat mich echt verbessert! In der Schule war ich richtig schlecht in Mathe und dank der App kann ich besser Mathe! Ich bin so dankbar, dass ihr die App gemacht habt.

Greenlight Bonnie

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Ich benutze Knowunity schon sehr lange und meine Noten haben sich verbessert die App hilft mir bei Mathe,Englisch u.s.w. Ich bekomme Hilfe wenn ich sie brauche und bekomme sogar Glückwünsche für meine Arbeit Deswegen von mir 5 Sterne🫶🏼

Julia S

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Also die App hat mir echt in super vielen Fächern geholfen! Ich hatte in der Mathe Arbeit davor eine 3+ und habe nur durch den School GPT und die Lernzettek auf der App eine 1-3 in Mathe geschafft…Ich bin Mega glücklich darüber also ja wircklich eine super App zum lernen und es spart sehr viel Heit dass man mehr Freizeit hat!

Marcus B

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Mit dieser App hab ich bessere Noten bekommen. Bessere Lernzettel gekriegt. Ich habe die App benutzt, als ich die Fächer nicht ganz verstanden habe,diese App ist ein würcklich GameChanger für die Schule, Hausaufgaben

Sarah L

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Hatte noch nie so viel Spaß beim Lernen und der School Bot macht super Aufschriebe die man Herunterladen kann total Übersichtlich und Lehreich. Bin begeistert.

Hans T

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Die App ist sehr leicht und gut gestaltet. Habe bis jetzt alles gefunden, nachdem ich gesucht habe und aus den Präsentationen echt viel lernen können! Die App werde ich auf jeden Fall für eine Klassenarbeit verwenden! Und als eigene Inspiration hilft sie natürlich auch sehr.

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Diese App ist wirklich echt super. Es gibt so viele Lernzettel und Hilfen, […]. Mein Problemfach ist zum Beispiel Französisch und die App hat mega viel Auswahl für Hilfe. Dank dieser App habe ich mich in Französisch verbessert. Ich würde diese jedem weiterempfehlen.

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Wow ich bin wirklich komplett baff. Habe die App nur mal so ausprobiert, weil ich es schon oft in der Werbung gesehen habe und war absolut geschockt. Diese App ist DIE HILFE, die man sich für die Schule wünscht und vor allem werden so viele Sachen angeboten, wie z.B. Ausarbeitungen und Merkblätter, welche mir persönlich SEHR weitergeholfen haben.

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Ich liebe diese App sie hilft mir vor jeder Arbeit kann Aufgaben kontrollieren sowie lösen und ist wirklich vielfältig verwendbar. Man kann mit diesem Fuchs auch normal reden so wie Probleme im echten Leben besprechen und er hilft einem. Wirklich sehr gut diese App kann ich nur weiter empfehlen, gerade für Menschen die etwas länger brauchen etwas zu verstehen!

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Die App ist einfach super! Ich muss nur in die Suchleiste mein Thema eintragen und ich checke es sehr schnell. Ich muss nicht mehr 10 YouTube Videos gucken, um etwas zu verstehen und somit spare ich mir meine Zeit. Einfach zu empfehlen!!

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