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1.6 Nullstellen ganzrationaler Funktionen
8.4.2021
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1.6 Nullstellen ganzrationaler Funktionen Rechts ist der Graph der ganzrationalen Funktion f mit f(x)=x³-6x + 8x abgebildet. Der Graph von f schneidet die x-Achse in den Punkten N N. (010) N, (210) №₂ (410) Nullstellen x=0x₂.2 x₁ = 4 MERKE Die X-Koordinate der Schnittpunkte mit der X-Achse wird auch Nullstelle genannt. Eine Nullstelle ist die Lösung der Gleichung f(x) = 0. 3 Verfahren, um die Gleichung f(x)=0 für ganzrationale Funktionen zu lösen pq- Formel Gleichungen der Form x² + px + q werden mit der pq-Formel gelöst. 2 Satz vom Nullprodukt (ein Produkt ist 0. wenn mindestens ein Faktor Oist) i) Wenn der Term in Produktform vorliegt, kann man untersuchen, wann die einzelnen Faktoren O werden ii) wenn der Term in Summenform vorliegt, und wenn jeder Summand mindestens ein x enthält, kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden. (3) Ersetzung (Substitution) Bei Gleichung der Form x" + px + q kann die Ersetzung (Substitution) x² = u helfen. Dadurch ensteht eine Gleichung der Form u²₁ pu •a = 0. Diese Gleichung kann mit der pq- Formel gelöst werden. Danach muss die Ersetzung rückgängig gemacht werden (Resubstitution) mit X₁/₂ = = √U₁² X 3/4 = ± √U₂₁² Beispiele: a) f(x) = x³-6x² + 5x MERKE Auch wenn man die x- Koordinate der Schnittpunkte zweier Graphen ganzrationaler Funktionen berechnen will, kann man die beschriebenen Verfahren anwenden. Die Gleichung...
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Alternativer Bildtext:
f(x) = g(x) ist umgestellt nämlich: f(x) - g(x) = 0. 0-x³-6x² + 5x 0= x (x²-6x+5) X₁-0 X213 = -( - ) ± √(- -)²-5 3 2 X₂ = 3+2=5 = 3-2 = 1 х:0 x1.5 x,-4 b) f(x)= x³ + x 0x³+x 0 = x (x² + 1 ) X215-√(2)² - 4 X=0 Okein Ergebnis X=0 Pq- Formel X1/2 c) f(x) = -x + 3x² 0=x+3x² - £/ +√ √ √ (€ ) ² - q ± 0=x²-31+3 3= 3x² 1.3 9 = x² If +3= X 213 0= -x²(x²-3) 1-(-1) 0 x²(x²-3) x₁-0 X₁²0 x₂= 3 X₂ = -3 April 21 d) SUBSTITUTION: siehe nächste Seite a) Gleichung der Form x" + px² +9-0 f(x)=x-13x²+36 Substitution x-u f(x)=u²-13u +36 0=u²-134-36 2 denn: x² = (x²)² = ² U₁2 = 2² + √(-2²-36 169 4 = = ± ± U₁= 12 = 9 U₂ = 2 = 4 144 4 Resubstitution x² = u Ⓒx²=91f XA12=3 x²=41f X3/4 = =2