Die ABC-Formel verstehen

Jede quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0, wobei a ≠ 0 sein muss. Das x²-Glied macht sie quadratisch, das x-Glied ist linear und c ist die Konstante.

Die Mitternachtsformel lautet: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Das ± bedeutet, dass du zwei Lösungen bekommst - einmal mit Plus, einmal mit Minus.

Schauen wir uns das Beispiel f(x) = 4x² - 2x - 28 an. Hier ist a = 4, b = -2 und c = -28. Achte super genau auf die Vorzeichen - das ist der häufigste Fehler!

Tipp: Die Formel heißt "Mitternachtsformel", weil du sie sogar um Mitternacht fehlerfrei aufsagen können solltest!

Schritt-für-Schritt Berechnung

Jetzt setzen wir unsere Werte in die ABC-Formel ein: $x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 4 \times (-28)}}{2 \times 4}$. Aus -(-2) wird +2, weil minus mal minus plus ergibt.

Für x₁ rechnen wir: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{4 + 448}}{8} = \frac{2 + \sqrt{452}}{8} = \frac{2 + 21,26}{8} = 2,91$

Für x₂ nehmen wir das Minus: $x_2 = \frac{2 - 21,26}{8} = \frac{-19,26}{8} = -2,41$

Die Nullstellen sind also bei x₁ = 2,91 und x₂ = -2,41. Fertig! Mit etwas Übung schaffst du das in wenigen Minuten.

Merke dir: Rechne immer beide Lösungen aus - quadratische Gleichungen haben meist zwei Nullstellen!