Abi Stochastik Lernübersicht – Binomialverteilung, Erwartungswert & Urnenmodelle

Kombinatorik & Kenngrößen

Urnenmodelle & Produktregel

Zufallsexperimente systematisch abzählen.

• Produktregel: Gesamtergebnisse durch Multiplikation der Möglichkeiten je Stufe ($n_1 \cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k$).
• Mit Zurücklegen: Geordnet $n^k$ Möglichkeiten; ungeordnet $\binom{n+k-1}{k}$ Möglichkeiten.
• Ohne Zurücklegen: Geordnet $\frac{n!}{(n-k)!}$ Möglichkeiten; ungeordnet über den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$.

Erwartungswert & Streuung

Die Kennzahlen beschreiben das Zentrum und die Breite einer Verteilung.

• Erwartungswert $\mu$: Der statistische Mittelwert $E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)$.
• Standardabweichung $\sigma$: Gibt die durchschnittliche Streuung der Werte um den Erwartungswert an.

Beispiel: $\mu$ für $X \in \{1, 2\}$ mit je $P = 0,5$: $\mu = 1 \cdot 0,5 + 2 \cdot 0,5 = 1,5$

💡 Tipp: Nutze den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ immer dann, wenn die Reihenfolge beim Ziehen keine Rolle spielt.

Mehrstufige Experimente

Pfadregeln im Baumdiagramm

Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade bestimmen.

• Pfadmultiplikationsregel: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades für das Ergebnis.
• Pfadadditionsregel: Addiere die Pfadwahrscheinlichkeiten für die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses.
• Gegenereignis: Schneller rechnen über $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$.

Histogramme interpretieren

Wie sich Parameter auf die Verteilung auswirken.

• Einfluss von $p$: Je größer $p$, desto weiter rechts liegt das Maximum; bei $p=0,5$ ist es symmetrisch.
• Einfluss von $n$: Je größer $n$, desto flacher, breiter und symmetrischer wird das Histogramm.

💡 Tipp: Wenn in der Aufgabe das Wort „mindestens“ steht, führt der Weg über das Gegenereignis oft viel schneller ans Ziel.

Bedingte Wahrscheinlichkeit & Bernoulli

Vierfeldertafel & Abhängigkeit

Zusammenhänge zwischen zwei Merkmalen $A$ and $B$ darstellen.

• Bedingte Wahrscheinlichkeit: $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ ist die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Bedingung $A$.
• Stochastische Unabhängigkeit: Liegt vor, wenn $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ gilt.

Bernoulli-Ketten

Zufallsexperimente mit nur zwei Ausgängen (Treffer/Niete).

• Formel von Bernoulli: $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
• Kenngrößen: Erwartungswert $\mu = n \cdot p$ und Standardabweichung $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$.

Beispiel: $P(X=2)$ bei $n=3$, $p=0,5$: $P(X=2) = \binom{3}{2} \cdot 0,5^2 \cdot 0,5^1 = 3 \cdot 0,25 \cdot 0,5 = 0,375$

💡 Tipp: Prüfe vor der Anwendung der Bernoulli-Formel immer, ob die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ über alle Durchgänge hinweg absolut konstant bleibt.

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Intervallwahrscheinlichkeiten

Summierte Wahrscheinlichkeiten für Trefferbereiche berechnen.

• Höchstens $k$ Treffer: Berechnung über $P(X \le k)$ im GTR mit binomCdf(n, p, k).
• Mindestens $k$ Treffer: Berechnung über das Gegenereignis $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k-1)$.
• Intervall: $P(k \le X \le h)$ berechnet sich über $P(X \le h) - P(X \le k-1)$.

GTR-Problemlösung

Spezielle Parameter der Binomialverteilung bestimmen.

• Gesuchtes $n$: Tabelle mit binomCdf(x, p, k) erstellen und den $x$-Wert für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ablesen.
• Gesuchtes $p$: Schnittpunkt des Graphen von $f(x) = \text{binomCdf}(n, x, k)$ mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit ermitteln.

💡 Tipp: Achte beim GTR-Befehl binomCdf penibel auf die Intervallgrenzen, da der Taschenrechner standardmäßig immer von $0$ bis $k$ aufsummiert.