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Mathematik

Grundlegende Ableitungsregeln

Potenzregel

Mathe2.711Aktualisiert 6. Sept. 20262 Seiten

Ableiten und Aufleiten – Potenz-, Faktor- und Summenregel einfach erklärt

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Das Ableiten und Aufleiten von Funktionen gehört zu den wichtigsten Werkzeugen der mathematischen Analysis in der Oberstufe. Während die Ableitung die Steigung einer Kurve beschreibt, kehrt das Aufleiten diesen Prozess um, um die ursprüngliche Funktion oder eine Fläche zu bestimmen. Diese Zusammenfassung zeigt dir die wichtigsten Regeln für Klausuren, von der Potenzregel bis zum Umgang mit Sinus und Kosinus.
Ableiten und Aufleiten – Seite 1

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Ableitungsregeln

Basisregeln der Ableitung

Beim Ableiten bestimmst du die Steigung einer Funktion f(x)f(x) als neue Funktion f′(x)f'(x).

  • Potenzregel: Bei xnx^n wird der Exponent nn nach vorne gezogen und um 11 verringert: n⋅xn−1n \cdot x^{n-1}.
  • Faktorregel: Ein konstanter Vorfaktor bleibt beim Ableiten einfach unberührt stehen.
  • Summenregel: Bestimme die Ableitungen von Summanden einzeln und addiere sie auf.

Beispiel: f(x)=3x5−2x2+3xf(x) = 3x^5 - 2x^2 + 3x f′(x)=15x4−4x+3f'(x) = 15x^4 - 4x + 3

Besondere Terme ableiten

Konstante Zahlen ohne Variable fallen beim Ableiten komplett weg.

  • Wurzeln: Wandle Wurzeln vor dem Ableiten in Potenzen um: xn=x1n\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}.
  • Brüche: Schreibe Brüche mit negativem Exponenten um, um sie leichter abzuleiten.

💡 Tipp: Konstanten verschieben den Graphen nur auf der y-Achse und beeinflussen die Steigung nicht, weshalb sie beim Ableiten wegfallen.

Ableiten und Aufleiten – Seite 2

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Aufleitungsregeln

Stammfunktionen bilden

Das Aufleiten (Integrieren) ist die Umkehrung des Ableitens, bei der der Exponent um 11 erhöht wird.

  • Potenzregel umgekehrt: Erhöhe den Exponenten um 11 und teile durch den neuen Exponenten.
  • Integrationskonstante +C+ C: Da Konstanten beim Ableiten wegfallen, musst du beim Aufleiten immer ein +C+ C anhängen.

Beispiel: f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2 f(x)=x3+Cf(x) = x^3 + C

Sinus und Kosinus

Das Ableiten und Aufleiten von trigonometrischen Funktionen verläuft in einem festen Kreislauf.

  • Aufleiten: Aus f′(x)=cos⁡(x)f'(x) = \cos(x) wird die Stammfunktion f(x)=sin⁡(x)+Cf(x) = \sin(x) + C.
  • Gegenrichtung: Beim Aufleiten von sin⁡(x)\sin(x) erhältst du −cos⁡(x)+C-\cos(x) + C.

💡 Tipp: Merk dir den Kreislauf sin⁡(x)→cos⁡(x)→−sin⁡(x)→−cos⁡(x)\sin(x) \rightarrow \cos(x) \rightarrow -\sin(x) \rightarrow -\cos(x) – im Uhrzeigersinn leitest du ab, gegen den Uhrzeigersinn leitest du auf.

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