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Ableitungen

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Näherungsweise Bestimmung der Ableitung
• h-Methode
Intervalllänge h kleiner werden lassen (h> 0)
Bsp: f(x) = x2
h
-0.1
-0,01
-

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Geraldine

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- Näherungsweise Bestimmung der Ableitung —> h-Methode —> geometrishce Mithilfe der Steigung der Steigung der Tangente in P(x0/f(x0) - Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnen - Ableitungsfunktionen - Tangeten - Ableitungen

 

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Lernzettel

Ableitungen Näherungsweise Bestimmung der Ableitung • h-Methode Intervalllänge h kleiner werden lassen (h> 0) Bsp: f(x) = x2 h -0.1 -0,01 -0.001 => f'(2) = 4 XO läuft 2 f(xo+h)-f(xo) DQ 0.39 3.9 0.0399 3.99 0.00399 3,999 gegen 4 xo =2 f(x) = x Mit h= -0₁1 xo=2 - ·h 0.1 0,01 0.001 f(xo + h) -f(xo.) =F(2-0,1) - f(2) = F(1₁9) - F(2) = 3,61 - 400 1,9² 2² = 0,39 ⇒ DQ- Q39 = 3,9 -0,1 DQ f(xo+h)-f(xo) h f(xo+h)-f(xo) 0,41 0.0401 0.004001 DQ 4₁1 4,01. 4,001 Näherungsweise Bestimmung der Ableitung • geometrisch mithilfe der Steigung der Tangente in P(xo / f (xo) Bsp: P(2/F(2) GTR : 3 2. 4+ 2 f(x) = x ² 2 ·m² = 4 X XO = 2 = x² 2 1 Scatsch pad → Berechnen: f1(x) :: 11.. menu → 4: Analysis → 2: Ableitung an einem Punkt Wert: 2 ⇒d (£^(x) | x=2 = 4₁ dy Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnen exakte Bestimmung des Grenzwertes mithilfe von 1. Term für DQ aufstellen 11. DQ wird so umgeformt, dass erkennbar ist, gegen welchen festen wert für h→0 strebt Bsp: 1. Schritt: Term für DQ aufstellen f(3+h)-f(3) h (3+h) ² -3² h (3+h)²-3² h 2. Schritt: DQ um formen → Nenner soll wegfallen = 9+6h+h²_q = 6h+h² h h =h(6 +h) h Term umformung = 6+h 3. Schritt. umgeformter Term für h→0 untersuchen Für ·h→0 erhält man 6+h →6 → f(3) = 6 [Die Ableitung an der Stelle x0=3] Bsp: a) Funktionsgleichung bestimmen f(xo+h)-f(xo) h c) cો Die Ableitungs funktion Ableitung an einer beliebigen Stelle bestimmen f(x) = -x² + 3x > = (x0² + 2xoh +h²2) + 3xo + 3h + xo-3x0. h > -x0² - 2x0-h² + 3×0 + 3h + x²-3x0 h -h²-2 xoh +3h h -h-2xo +3 (-xo+h)² + 3(xo +h)-(-x0² + 3xo) h ·f'(x) = -2x...

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+ 3 -2x b) bestimme f'(2); f`(12) ·f'(2): = -2.2 +3 -4+3 = 1 f`(12) = 2 · (-12)+3 = 2x+3 = 27 ● 8 X = 10 = ⇒ allgemeine Ableitungsfunktion: f'(x) = -2x +3 für welches XERRIS f'(x) = 10 ? = k(-h-2xo + 3) h -2xo +3 für h→0 7 -3,5 • Termum formung ··Klammern auflösen 1-3 1:(-2) Binomische Formeln. wegsteichen h aus klammern Wenn man die Ableitung von F'(x) bildet erhält man die 2. Ableitung. f.!"(x).. Funktionsgleich ungen K 1. Punkt berechnen P(-1-/-f(-1)) 8 Tangenten - Geraden y = m.x+n von 3 Bsp: Tangenten gleichung t in die Funktion f(x) = x² Stelle xo -^ bestimmen 3.(-1)² 3 Tangenten Tangenten bestimmen Ansatz: Pe G+ = 3·x+n -Es gilt: ・mt = f'(x0) -n er hält man durch ein setzen der Koordinaten von P in die • Geraden gleichung · f(xo)= mit ·xo +n Steigung mit der Ableitung an der Stelle xo berechnen mt= f'(-1) P(-1/-1) f'(x) = 3x² III. Abschnitt der Tangenten berechnen ↑ ↑ Steigung y-Achsenabschnitt € : Y ⇒ · 1 = ·3·(-1) +n 1+3 2=n IV Tangentengleichung angeben. +(x) = 3x +2 an der f(x) ૪ 8x 8x2 8x3 f'(x) O 8 bei 16x 24x2 8x4+10 323 x² + 10x7x6 + 10 Grundlagen zum Ableiten Jung - Daniel Erklärung 8 Zahl abgeleitet = 0 Zahl mal x abgeleitet bleibt die Zahl Hochzahl wird nach vorne multipliziert, einer wird abgezogen Hochzahl wird nach vorne multipliziert, einer wird abgezogen, Zahl ohne x fällt weg Hochzahl wird nach vorne multipliziert, einer wird abgezogen Zahl mal x abgeleitet bleibt die Zahl x bleibt eine 1 (eigentlich ^x^) Die erste Ableitung zeigt die Steigung des Ursprungsgrafen