Ableitungsregeln

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Subtraktion der Ableitungen DIFFERENZREGEL BEISPIEL Ⓒ f(x) = g(x) - h(x) → f'(x) = g'(x) - h'(x) Hinweis: Faktorregel und Potenzregel beachten f(x) = 2x² - x f'(x) = 4x - 1 Vorgehen: 1. Teilfunktionen bestimmen 2. Ableitungen der Funktionsteile bilden 3. Subtraktion der Ableitungen DIFFERENZREGEL ÜBUNG Ⓒ f(x) = g(x) - h(x) → f'(x) = g'(x) - h'(x) Hinweis: Faktorregel und Potenzregel beachten f(x) = 3x³ - 5x² f'(x) = 9x² - 10x Lösungsweg: f(x) : = 3x² - 5x² g(x) = 3x³ h(x) = = 5x2 g'(x) = 9x² h(x) = 10x f'(x) = g´(x) - h´(x) = 9x² - 10x PRODUKTREGEL Ⓒ f(x) = u(x) v(x) f'(x) = u(x) • v´(x) + u´(x) • v(x) f(x) = (5x² + 3x) · 4x u(x) = 5x² + 3x v(x) = 4x u'(x) = 10x + 3 v'(x) = 4 Vorgehen: 1. Teilfunktionen bestimmen 2. Teilfunktionen ableiten 3. Produktregel anwenden PRODUKTREGEL BEISPIEL Ⓒ f(x) = u(x) v(x) f'(x) = u(x) • v´(x) + u´(x) • v(x) f(x) = (5x² + 3x) - 4x f'(x) = (5x² + 3x) · 4 + (10x + 3). 4x . = 20x² + 12x + 40x² + 12x = 60x² + 24x 1. FUNKTION u(x) = 5x² + 3x Ableitungen: 1. FUNKTION U'(x) = 10x +3 2. FUNKTION v(x) = 4x 2. FUNKTION v'(x) = 4 PRODUKTREGEL BEISPIEL O f(x) = u(x) v(x) f'(x) = u(x) • v´(x) + u´(x) • v(x) f(x) = (5x² + 3x). 4x f'(x) = 60x² + 24x Vorgehen: 1. Teilfunktionen bestimmen 2. Teilfunktion ableiten 3. Produktregel anwenden PRODUKTREGEL ÜBUNG f(x) = u(x). v(x) f'(x) = u(x) v'(x) + u'(x) · v(x) f(x) = (2x - 3) (5x + 1) f'(x) = 20x - 13 Lösungsweg: f(x) = (2x - 3) (5x + 1) u(x) = 2x - 3 v(x) = 5x - 1 → u'(x) = 2 ● f'(x) = u(x) v´(x) + u´(x) · v(x) v´(x) = 5 = (2x - 3) 5 + 2 (5x - 1) . = 10x - 15 + 10x - 2 = 20x - 13 KETTENREGEL Ⓒ f(x) = g(h(x)) → f'(x) = g´(h(x)). h'(x) ÄUBERE FUNKTION f(x)=3-(x³-4)² g(x): Äußere Funktion g(x) = = 3x7 INNERE FUNKTION h(x): Innere Funktion h(x) = x³ - 4 Vorgehen: 1. Äußere und innere Funktion bestimmen 2. Ableitungen der inneren und äußeren Funktion bilden 3. Kettenregel anwenden KETTENREGEL BEISPIEL f(x) = g(h(x)) → f'(x) = g´(h(x)). h'(x) FUNKTION g(x) = 3x7 h(x) = x³ - 4 f(x) = 3 (x³-4)7 . ABLEITUNG g'(x) = 21x6 h'(x) = 3x² Vorgehen: 1. Äußere und innere Funktion bestimmen 2. Ableitungen der inneren und äußeren Funktion bilden 3. Kettenregel anwenden KETTENREGEL BEISPIEL f(x) = g(h(x)) → f'(x) = g´(h(x)). h'(x) f(x)=3-(x³4)7 f'(x) = 21 (x³ - 4)6 · 3x² f'(x) = 63x²(x³ - 4)6 ÄUBERE FUNKTION g(x) = 3x7 ABLEITUNGEN g'(x) = 21x6 INNERE FUNKTION h(x) = x³ - 4 h'(x) = 3x² KETTENREGEL ÜBUNG f(x) = g(h(x))→→ f'(x) = g'(h(x)). h'(x) f(x) = (3x-4)3³ f'(x) = 9 (3x-4)² f'(x) = 81x² - 216x + 144 ÄUBERE FUNKTION g(x) = x³ ABLEITUNGEN g'(x) = 3x² INNERE FUNKTION h(x) = 3x - 4 h'(x) = 3 f'(x) = g'(h(x)) h´(x) = 3 (3x-4)² 3 ● = 9. (3x-4)² (Zur weiteren Vereinfachung: 2. Binomische Formel anwenden) EXPONENTIALFUNKTION O f(x) = a · bx - → f'(x) = a · In(b) · b× Variable b: 7 Variable a: 2 Exponent: X f(x) = 2.7x f'(x) = 2 In (7) - 7× Vorgehen: 1. Wert der Variablen/Teilfunktionen bestimmen 2. Ableitungen bilden 3. Formel anwenden EXPONENTIALFUNKTION BEISPIEL Ⓒ f(x) = a · bx - Variable b: Exponent: u(x) = 2x v(x) = 3x → f'(x) = a · In(b) · b× 2 3x f(x) = 23x 1. Teilfunktion: u(x) = 2× 2. Teilfunktion: v(x) = 3x u'(x) In(2) 2x v'(x) = 3 = Vorgehen: 1. Wert der Variablen/Teilfunktionen bestimmen 2. Ableitungen bilden 3. Formel anwenden EXPONENTIALFUNKTION BEISPIEL O f(x) = a · bx - KETTENREGEL: → f'(x) = a · In(b) · b× f(x) = 23x f(x) = g(h(x)) → f'(x) = g'(h(x)). h'(x) f'(x) = In(2) · 2³x.3 = = In(2) · 6³x 1. FUNKTION u(x) = 2x Ableitungen: 1. FUNKTION u'(x) = ln(2) 2× 2. FUNKTION v(x) = 3x 2. FUNKTION v'(x) = 3 EXPONENTIALFUNKTION ÜBUNG Ⓒ f(x) = a · bx - Variable b: 4 Exponent: → f'(x) = a · In(b) · b× X f(x) = = 4x f'(x) = In(4) 4× . Vorgehen: 1. Wert der Variablen/Teilfunktionen bestimmen 2. Ableitungen bilden 3. Formel anwenden QUOTIENTENREGEL f(x) = Beispiel: f(x) = g(x) h(x) x5 + 1 x² g(x) = x5 + 1 h(x) = x² f'(x) h.g'-h.g h² = 5x4 g'(x) = h'(x) = 2x Vorgehen: 1. Teilfunktionen bestimmen 2. Ableitungen der Funktionsteile bilden 3. Quotientenregel anwenden QUOTIENTENREGEL BEISPIEL Ⓒ f(x) = f'(x) = f'(x) = f'(x) = g(x) h(x) f'(x) = x².5x4 - 2x (x5 + 1) (x²)² . 5x6 - 2x6 - 2x x4 h.g'-h'. g h² 3x6 - 2x x4 Vorgehen: 1. Teilfunktionen bestimmen 2. Ableitungen der Funktionsteile bilden g(x) = x5 + 1 h(x) = x² g'(x) = 5x4 h'(x) = 2x 3. Quotientenregel anwenden QUOTIENTENREGEL BEISPIEL Ⓒ f(x) = f'(x) = f'(x) = f'(x) = g(x) h(x) f'(x) 3x6 - 2x te x · (3x5 - 2) x4 3x5-2 x3 h.g'-h'. g h² Vorgehen: 1. Teilfunktionen bestimmen 2. Ableitungen der Funktionsteile bilden g(x) = x5 + 1 h(x) = x² g'(x) = 5x4 h'(x) = 2x 3. Quotientenregel anwenden QUOTIENTENREGEL ÜBUNG f(x) = f(x) = f'(x) = g(x) h(x) f'(x) 2x - 3 5x + 1 17 (5x + 1)2 h.g'-h'. g h² Lösungsweg: f(x) = g(x) = 2x - 3 h(x) = 5x + 1 = 2x - 3 5x + 1 f'(x) =_h(x) · g'(x) - h'(x) · g(x) h² = II g'(x) = 2 h'(x) = 5 2 (5x + 1) - (2x - 3)-5 (5x + 1)2 10x + 2-10x + 15 (5x + 1)2 17 (5x + 1)2