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Abiturzusammenfassung Analysis (Folgen, ganzrationale Funktionen, gebrochenrationale Funktionen, trigonometrische Funktionen, E-Funktion, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktion, Kurvendisskusion, Ableitungen, Integration, etc.)
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Konvergenzkriterium: lan-glcɛ Grenzwertsätze: 1) lim (an+bn) = lim (an) + lim (bn) = a +b 11-000 n-∞ noo Eigenschaft der Nullstelle Graph GRENZWERT EINER FOLGE Def. Luca Polstelle Beispiel 2) lim (an-bn) = lim (an) - lim (bn) = a-b n-000 n-00 nox 3) lim (an · bn) = lim (an)- lim (bn) = a.b noxo n∞ 11-000 4) lim noo DEFINITIONS- UND WERTEBEREICH D: Menge der Elementex, die der Menge der Elemente y zugeordnet sind 2.B. D= {x€ R/x+0} oder D= R\ {0} oder D=]0; ± ∞ [ W₁ · Bereich einer Funktion, den der y-Wert annehmen kann an Definitionslucke mit VZW an der Stelle Xo lim (an) n-0x DEFINITIONSLOCKEN Die Nenner funktion ist an einer Stelle x. gleich null, die Zähler - funktion unglich null nicht hebbar lim (bn) n-x f(x) = x=-11 Definitionslucke ohne VZW an der Stelle xo nicht hebbar Xo ist eine Polstelle 1 f(x) = (x^~^)² Sowohl die Nenner - als auch die zahur funktion sind an einer bestimmten Stelle to gleich null Der Punkt (xo If (xo)) gehört nicht zum Funktionsgraphen hebbar Xo ist keinu Polstelle х4 -16 x² - 4 f(x) = = = (x²+4) (x²-4) x² - 4 x² + 4 Form: anx' koeffizient in gerade an positiv Grad + an-^ lim f(x) = ∞ x - 00 X lim f(x) = ∞0 X-8 GANZRATIONALE FUNKTIONEN n-^ 2 1 + ... + a₂ X + A₁X + Ao GLOBALVERLAUF Summand mit höchstem Exponent entscheidet über Verhalten von f(x) x j f m Polynom in gerade an negativ lim f(x)= = X 10 lim f(x)= X-00 -8 Achsensymmetrie (zur y-Achse) A nungerade an positiv lim f(x) = ∞0 XOD nur gerade Exponenten f(-x) = f(x) lim f(x)= X4-8 SYMMETRIEVERHALTEN -∞ , mit neN und an #0 je n ungerade an negativ lin f(x) XOP ==∞ lim f(x) = ∞ X-0-∞ Pynktsymmetrie (zum Koordinatenursprung) th. nur ungerade Exponenten f(-x) =...
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-f(x) Ermittlungsverfahren von Nullstellen 1) Ausklammern: f(x) = 3x³ - 5x² + 2x = x (3x² -5x + 2² ☺ N₁ (010) pq-Formel 3) Substitution : f(x) = x² - 8x² +15 Substitution u=x² f(u) = u² - 8u + 15 pq - Formel Z₁ = 5 1 Z₂ = 3 Resubstitution x² = 5 x² = 3 X ₁/2 = ± √5 X₁₁²4 = ± √3 X112 X314= NULLSTELLEN 2) =P pq- Formel f(x) = x²-5x+2 0 Хлуг = = x-5x+2 - 1²/²2 ± √ √ ( ² ) ³² - q + 1/2/2 ± √(- 1²/1² - 2² 2,06 x₂ = -0₁1 = 2,5 x₁ = 5,1 4) Polynomdivision f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 Nullstelle erraten N₁ (210) (x³-6x² + 11x-6): (x-2) = x² - 4x +3 pq-Formel (x³ - 2x²) - 4x² +11X -(-4x²8x - 3x - 6 (3x-6) O/ -D 5) Horner-Schema f(x)=2x³ + 30x²150x - 750 Nullstelle raten No (510) - 2 -2 + 30 + 50 -2.5 +20.5 20 150 - 750 +150.5 0 = f(x) = -2x² + 20x + 150 pq-Formel A einfache Nullstelle z. B. (1+x) X₁ VIELFACHHEIT VON NULLSTELLEN U ^ ^ Der Differenzenquotient beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer Größe zu der Veränderung einer anderen, von der die erste abr abhängt. m xxx dreifache Nullstelle z.B. (1+x)³ doppelt Nullstelle Z.B. (1+x)² DIFFERENZEN QUOTIENT (= mittlere Änderungsrati ) X₂ Die durchschnittliche Steigung zwischen den Zeitpunkten ×,₁ und X₂ entspricht der Steigung der Sekante. Dies bedeutet, dass die Steigung der Sekante mit Hilfe zweier Punkte berechnet werden kann: f(x₂)-f(x₁) x₂-xo ΔΥ Ax DIFFERENTIALKOEFIZIENT (= momentane Änderungsrate) Der Differential quotient (auch Ableitung einer Funktion genannt) entspricht der Steigung der Tangente in einem Punkt." Schiebt man beide Punkte immer weiter zueinander, wird aus der Sekante eine Tangente, die den Graphen f nur noch in einem Punkt berührt. TANGENTENGLEICHUNGEN Methode 1: Die Gleichung der Tangente t(x) an der Stelle a ist: f'(a) · (x-a) + f(a) Methode 2: Beispiel: f(x)= x³ + 2x² + 5x-4, an der Stelle x₂=5 Zuerst muss die erste Ableitung gebildet werden Als nächstes muss die Steigung m an der Stelle x. des Graphen f berechnet werden Nun muss der y-Wert des Graphen an der Stelle x. berechnet werden Um den y-Achsenabschnitt zu berechnen müssen nun in die allgemeine Tangentenguichung y=m.x+b die Werte für xiy m eingesetzt werden und f'(x) = 3x² + 4x +5 x = m = f'(x) = f'(5) = 100 f(5) = 196 196= 100.5 tb 196 = 500 tb 1-500 - 304 b = L y = 100x - 304 Steigungswinkel einer Tangenten Für den Steigungswinkel x an der Stelle x. gilt: tan (x) = f'(x₂) arctan (f'(x₂)) MONOTONIEVERHALTEN Zusammenhang zwischen dern Monotonieverhalten einer Funktion und ihrer Ableitung Gegeben ist eine Funktion f auf einem Intervall I. Dann gilt: 1. 1st f'(x) > 0 für alle XEI, so ist f(x) streng monoton steigend auf I. 2. 1st f'(x) <0 für alle XEI, so ist f(x) streng monoton fallend auf I. 3. Ist f'(x) 20 für alle x€ I, so ist f(x) monoton steigend auf I. 4. Ist f'(x) ≤0 für alle XEI, so ist f(x) monoton fallend auf I.
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Konvergenzkriterium: lan-glcɛ Grenzwertsätze: 1) lim (an+bn) = lim (an) + lim (bn) = a +b 11-000 n-∞ noo Eigenschaft der Nullstelle Graph GRENZWERT EINER FOLGE Def. Luca Polstelle Beispiel 2) lim (an-bn) = lim (an) - lim (bn) = a-b n-000 n-00 nox 3) lim (an · bn) = lim (an)- lim (bn) = a.b noxo n∞ 11-000 4) lim noo DEFINITIONS- UND WERTEBEREICH D: Menge der Elementex, die der Menge der Elemente y zugeordnet sind 2.B. D= {x€ R/x+0} oder D= R\ {0} oder D=]0; ± ∞ [ W₁ · Bereich einer Funktion, den der y-Wert annehmen kann an Definitionslucke mit VZW an der Stelle Xo lim (an) n-0x DEFINITIONSLOCKEN Die Nenner funktion ist an einer Stelle x. gleich null, die Zähler - funktion unglich null nicht hebbar lim (bn) n-x f(x) = x=-11 Definitionslucke ohne VZW an der Stelle xo nicht hebbar Xo ist eine Polstelle 1 f(x) = (x^~^)² Sowohl die Nenner - als auch die zahur funktion sind an einer bestimmten Stelle to gleich null Der Punkt (xo If (xo)) gehört nicht zum Funktionsgraphen hebbar Xo ist keinu Polstelle х4 -16 x² - 4 f(x) = = = (x²+4) (x²-4) x² - 4 x² + 4 Form: anx' koeffizient in gerade an positiv Grad + an-^ lim f(x) = ∞ x - 00 X lim f(x) = ∞0 X-8 GANZRATIONALE FUNKTIONEN n-^ 2 1 + ... + a₂ X + A₁X + Ao GLOBALVERLAUF Summand mit höchstem Exponent entscheidet über Verhalten von f(x) x j f m Polynom in gerade an negativ lim f(x)= = X 10 lim f(x)= X-00 -8 Achsensymmetrie (zur y-Achse) A nungerade an positiv lim f(x) = ∞0 XOD nur gerade Exponenten f(-x) = f(x) lim f(x)= X4-8 SYMMETRIEVERHALTEN -∞ , mit neN und an #0 je n ungerade an negativ lin f(x) XOP ==∞ lim f(x) = ∞ X-0-∞ Pynktsymmetrie (zum Koordinatenursprung) th. nur ungerade Exponenten f(-x) =...
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-f(x) Ermittlungsverfahren von Nullstellen 1) Ausklammern: f(x) = 3x³ - 5x² + 2x = x (3x² -5x + 2² ☺ N₁ (010) pq-Formel 3) Substitution : f(x) = x² - 8x² +15 Substitution u=x² f(u) = u² - 8u + 15 pq - Formel Z₁ = 5 1 Z₂ = 3 Resubstitution x² = 5 x² = 3 X ₁/2 = ± √5 X₁₁²4 = ± √3 X112 X314= NULLSTELLEN 2) =P pq- Formel f(x) = x²-5x+2 0 Хлуг = = x-5x+2 - 1²/²2 ± √ √ ( ² ) ³² - q + 1/2/2 ± √(- 1²/1² - 2² 2,06 x₂ = -0₁1 = 2,5 x₁ = 5,1 4) Polynomdivision f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 Nullstelle erraten N₁ (210) (x³-6x² + 11x-6): (x-2) = x² - 4x +3 pq-Formel (x³ - 2x²) - 4x² +11X -(-4x²8x - 3x - 6 (3x-6) O/ -D 5) Horner-Schema f(x)=2x³ + 30x²150x - 750 Nullstelle raten No (510) - 2 -2 + 30 + 50 -2.5 +20.5 20 150 - 750 +150.5 0 = f(x) = -2x² + 20x + 150 pq-Formel A einfache Nullstelle z. B. (1+x) X₁ VIELFACHHEIT VON NULLSTELLEN U ^ ^ Der Differenzenquotient beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer Größe zu der Veränderung einer anderen, von der die erste abr abhängt. m xxx dreifache Nullstelle z.B. (1+x)³ doppelt Nullstelle Z.B. (1+x)² DIFFERENZEN QUOTIENT (= mittlere Änderungsrati ) X₂ Die durchschnittliche Steigung zwischen den Zeitpunkten ×,₁ und X₂ entspricht der Steigung der Sekante. Dies bedeutet, dass die Steigung der Sekante mit Hilfe zweier Punkte berechnet werden kann: f(x₂)-f(x₁) x₂-xo ΔΥ Ax DIFFERENTIALKOEFIZIENT (= momentane Änderungsrate) Der Differential quotient (auch Ableitung einer Funktion genannt) entspricht der Steigung der Tangente in einem Punkt." Schiebt man beide Punkte immer weiter zueinander, wird aus der Sekante eine Tangente, die den Graphen f nur noch in einem Punkt berührt. TANGENTENGLEICHUNGEN Methode 1: Die Gleichung der Tangente t(x) an der Stelle a ist: f'(a) · (x-a) + f(a) Methode 2: Beispiel: f(x)= x³ + 2x² + 5x-4, an der Stelle x₂=5 Zuerst muss die erste Ableitung gebildet werden Als nächstes muss die Steigung m an der Stelle x. des Graphen f berechnet werden Nun muss der y-Wert des Graphen an der Stelle x. berechnet werden Um den y-Achsenabschnitt zu berechnen müssen nun in die allgemeine Tangentenguichung y=m.x+b die Werte für xiy m eingesetzt werden und f'(x) = 3x² + 4x +5 x = m = f'(x) = f'(5) = 100 f(5) = 196 196= 100.5 tb 196 = 500 tb 1-500 - 304 b = L y = 100x - 304 Steigungswinkel einer Tangenten Für den Steigungswinkel x an der Stelle x. gilt: tan (x) = f'(x₂) arctan (f'(x₂)) MONOTONIEVERHALTEN Zusammenhang zwischen dern Monotonieverhalten einer Funktion und ihrer Ableitung Gegeben ist eine Funktion f auf einem Intervall I. Dann gilt: 1. 1st f'(x) > 0 für alle XEI, so ist f(x) streng monoton steigend auf I. 2. 1st f'(x) <0 für alle XEI, so ist f(x) streng monoton fallend auf I. 3. Ist f'(x) 20 für alle x€ I, so ist f(x) monoton steigend auf I. 4. Ist f'(x) ≤0 für alle XEI, so ist f(x) monoton fallend auf I.
Vielen Dank, wirklich hilfreich für mich, da wir gerade genau das Thema in der Schule haben 😁