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DIFFERENTIALREGHNUNG
GANZRATIONALE FUNKTIONEN
Der Term der Form : anx^+ A(n-1) X²^-^). +
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Zusammenfassung für das Abitur | Differentialrechnung | Kurvendiskussion | Integralrechnung

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ANALYSIS DIFFERENTIALREGHNUNG GANZRATIONALE FUNKTIONEN Der Term der Form : anx^+ A(n-1) X²^-^). + heißt Polynom und ist eine verknüpfung von Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten. Wird der Term als Funktionsterm betrachtet, so nennt man die Funktion Polynomfunktion n-ten Grades. Eigenschaften Nullstellen: maximale Anzahl = 2 Extremstellen: maximale Anzahl = n-1 3 Grundtypen Verlauf : n gerade an >O + + + + n gerade an <0 n ungerade an>o → der größte Exponent ʼn bestimmt die Eigenschaften WEITERE EIGENSCHAFTEN VON + **** · A₂ײ +A₁× + A 2 Verhalten an einer Stelle n ungerade an <0 Verhalten im Unendlichen → untersucht wird das Verhalten der Funktionswerte, wenn x gegen ∞ bzw. -∞ strebt Eine zawl geR ist der Grenzwert einer Funktion f(x) für x→ ±∞ falls die Funktionswerte beliebig nah kommen. Es gilt: lim f(x) = g X-8 Die Gerade y-g ist dann eine waagerechte Asymptote lim f(xn-/xn) = g n18 untersucht wird das Verhalten der Funktionswerte, wenn x sich von links und rechts an eine Stelle a annähert Eine Funktion f hat an der Stelle a nur dann einen Grenz- Wert 9, wenn jede gegen a strebende Testfolge xn und deren Folge der zugehörigen Funktionswerte f(xn) gegen g strebt: x₁= a + 1/1 xn- = a - Xn- ... linksseitig Xn... rechtsseitig GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN P(x) Eine Funktion der Form mit den Polynomen p und 9 (x) q heißt gebrochenrationale Funktion. 1st n (g) > n (p): echt gebrochenrationale Funktion 1st n (9) ≤ n (p): unecht gebrochenrationale Funktion Eigenschaften Nullstellen entsprechen denen des...

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Zählerpolynoms p(x) 2 Definitionslucken: Nullstellen des Nennerpolynoms q (x) (3) Verhalten im Unendlichen : Grenzwert = 0 Grenzwert # 0 Grenzwert = t∞o n (p) < n (9) n (p) = n(q) n (p) > n (9) FUNKTIONEN 3 Stetigheit Eine Funktion f mit dem Definitionsbereich d heißi stetig an der Stelle AED, wenn der Grenzwert lim f(x) existiert und Xa mit dem Funktionsweit f (a) übereinstimmt Gilt für alle Stellen aeD : - - 4 der Graph besitzt schräge Asymptoten wenn gilt n (p) = n(g) + 1 (Ermittlung durch Polynom division, GTR expand()) lim f(x) = fa xa Definitionslücke ohne Vorzeichen- wechsel (Polstelle) Unstetigheitsstellen ++ +* Definitionslucke mit Vorzeichen- wechsel (Polstelle) hebbare Lucke (heine Polstelle!) p(x) und g(x) gleichzeitig null so heißt die Funktion stetig und identisch zu F Definitionslucke mit Sprung (Polstelle) (4) Differenzierbarkeit Eine Funktion of heißt differenzierbar an der Stelle to, falls der Grenzwert lim f(xo+h)-f(xo) existiert ho h lim f(xo-h)-f(xo) ist. ho -h 5 Steigung einer Funktion ms = Ay / Ax → Schante: durchschnittliche Steigung Tangente: : momentane Steigung in P m₁ = Ay/Ax → Normale: Senkrecht zur Tangente mn= -1/m₁ Für den Win hel der Tangente gilt: tan (a) = m₁ = f'(x₁) Ableitung Der Differential quotient beschreibt die Steigung an der Stelle xo, die momentane Änderungsrate und die erste Ableitung. f'(x) = lim f(xo+h)-f(xo) h→0 h Die Ableitungsfunktion f'(x) ordnet jeder Stelle x ihre Steigung zu. Ableitungsregeln ✪ Potenzregel Faktorregel Ⓒ Konstantenregel Summenregel Ⓒ Produktregel Ⓒ Kettenregel + Quotientenregel Wichtige Ableitungen Sinus und Cosinus Exponential funktion 3 Logarithmusfunktion Ⓒ Symmetrie f(x) = x" f(x) = k·n(x) f(x) = k f(x) = u + v f(x) = u. v f(x)= h (g(x)) f(x) = u/v Monotonie Achsensymmetrie f(x) = f(-x) Achse x=0 f(a+x)=f(a-x) Achse x = a f(x) f'(x) f'(x) = n. x (n-1 f'(x)= k·n'(x) f'(x) = 0 f'(x)= u' + v' f'(x)= u'•v + u.v' f'(x)= g'(x) · h'(g(x)) f'(x) = u'•v-u-v' v² f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x) f"(x) = f(x) = a* f(x)= ex sin(x) f¹" (x) = -cos (x) f'(x) = ln (a). ax f'(x) = ex f(x) = loga (x) f'(x) = 1 / In (a)-x f(x)= In (x) f'(x) = 1/x f Punktsymmetrie f(-x) = -f(x) P (010) b-f(a-x) = f(a+x)-b P(alb) Wenn f(x) in I streng monoton steigend ist, dann ist f'(x) ≥ 0 . Wenn f(x) in I streng monoton fallend ist, dann ist f'(x) ≤ 0. pana 8 Extremstellen Notwendiges Kriterium: Besitzt eine Funktion an der Stelle x eine Extremstelle, so muss f'(x) = 0 sein. 2 Hinreichendes Kriterium: 1st f"(x) > 0, dann handelt es sich um eine Minimumstelle. 1st f"(x) <0, dann handelt es sich um eine Maximum stelle. (bei f"(x)=0 bedarf es weiterer Untersuchungen) (9) Wendestellen - Notwendiges kriterium: 1st x eine Wendestelle von f(x), so muss f"(x) = 0 sein. Hinreichendes Kriterium: Gilt zugleich f'(x) ‡0, dann handelt es sich sicher um eine wendestelle •Sattelstellen sind Wendestellen mit waagerechter Tangente, es gilt zusätzlich f'(x) = 0 (10) Nullstellen → bei gebrochenrationalen Funktionen wird das Zählerpolynom gleich null gesetzt, um die Nullstellen zu ermitteln quadratische Funktionen f(x) = x² + px +9 × 412 = − 6 ± √ ( ² ) ² - 9 2 biquadratische Funktionen f(x) = x² + px² + q 33 Funktionen der Form 0 = ax + bxn 0= xn. (axm-n+b) x₁ = 0 X₂ X3 Substitution x²=2, doppelt pq- Formel axm+ bx mit nam →xn Aushlammern 11 Linearfa ktorzerlegung Das Produkt einer Funktion f der Form: f(x) = (x-a₁) "₁. (x −9₂)^² •r (x) heißt Linearfaktorzerlegung mit dem nicht linearen Rest r(x) und den Nullstellen a,, az... f verhält sich im Bereich der Nullstellen wie die Vielfachheit der entsprechenden Polenzfunktion x". ... FUNKTIONENSCHAREN zu jedem Parameter k gehört genau eine Funktion. Die Menge all dieser Funktionen wird als Funktionenschar bezeichnet. Ortskurve Die gesuchten Punkte (Wendepunkite, Extrempunkte) werden in Abhängigkeit von k bestimmt P(k+2|k²) x=k+2 k=x-2 (nach k umstellen) 33 y=k² y(x) = (x-2)² (Gleichung aus einsetzen) EXTREMWERTPROBLEME Hauptbedingung: Formel für die zu optimierende Größe aufstellen (2.B. Volumen, Abstand, ...) 2 Neben bedingung: Beziehungen zwischen den Variablen herstellen (alle möglichen Formeln aufstellen) 3 Zielfunktion: Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen (so dass die ges. Größe nur von einer Variable abhängt) 4 Extremwert ermitteln (z. B. Grafisch), Antwortsatz (auf Aufgabenstellung achten) FUNKTIONEN MIT VORGEGEBENEN GRAD ERMITTELN Funktion 3. Grades: f(x) = ax³ + bx² +cx+d f'(x)= 3ax² + 2bx + C m. H. der Angaben aus der Aufgabe lassen sich entweder Parameter bestimmen oder es sind Punlite gegeben, die man in die allgemeine Gleichung so einsetzt, dass nur die Parameter übrig bleiben f"(x)= 6ax + 2b f(x)= 6a → mit den Parametergleichungen wird ein lineares Gleichungssystem gebildet und die fehlenden Parameter bestimmil INTEGRALREGHNUNG UNBESTIMMTES INTEGRAL Ist f(x) die Ableitungsfunktion von F(x) und haben beide den Definitionsbereich D, so ist F(x) die Stammfunktion von f(x). Das unbestimmte Integral von f(x) ist die Menge aller Stamm- funktionen. (f(x) dx = F(x)+c Integrationsregeln Potenzregel 2 Summenregel 3 konstantenregel 4 Faktorregel 5 Kettenregel f(x) = x^ f(x) = u + v f(x) = c f(x) =h g(x) f(x) = h (g(x)) a Wichtige Stammfunktionen f(x) = sin(x) F(x) = -cos(x)=f(x) = // f(x) = a* X f(x)= = = F(x) = |n|x 1 F(x) = a*/In(a) f(x) = ln (x) F(x) = x (In (x)-1) BESTIMMTES INTEGRAL Der Graph f(x) schließt mit der x-Achse Teilflächen ein. Die Summe der orientierten Flächer in halte heißt bestimmtes Integral. f(x) dx = A₁+ A₂ + A3 + ... (x) dx a f(x) sei eine in I stetige Funktion und sn die Produktsumme. Der Grenzwert aller Produkt summen ist der Wert des bestimmten Integrals. b f(x) dx = lim sn n 400 n+1 X Hauptsatz der Integralrechnung: n+1 F(x) = F(x)= F(u) + F(v) F(x)= cx F(x)= k· F(g(x)) F(x)=H(g(x)) g'(x) a b {f(x)dx = [F(x)] = F(b)-F(a) a INTEGRALFUNKTION Untere Grenze a ist fest, obere Grenze x ist variabel A₁ (x) = f(t)dt = F(x) - F(a) • $fc+id+ = ANWENDUNGEN Flächeninhalte berechnen Nullstellen im Intervall bestimmen Teilintervalle bestimmen (auf Betrag achten) 3 Flacheninhalt: Summe der Teilintervalle → ordnet jeder Grenze x Seine Fläche Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen Den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen fund g im Intervall a und 6 berechnet man durch Integration der Differenzen funktion d (x) d (x) = f(x) - g(x) b SIα(x) dx = A → oder man berechnet Teil- intervalle zwischen den Schnittstellen von fund g Volumina von Rotationskörpern f(x) = Randfunktion, die um die x- Achse rotiert bildet Rotationshörper V = πT • Sf(x)² dx Bogenlänge einer kurve Für die Bogenlänge l eines Graphenstücks der Funktion f(x) über dem Intervall I gill: l= Š√ ₁ + (f'(x)) ² * dx

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Zählerpolynoms p(x) 2 Definitionslucken: Nullstellen des Nennerpolynoms q (x) (3) Verhalten im Unendlichen : Grenzwert = 0 Grenzwert # 0 Grenzwert = t∞o n (p) < n (9) n (p) = n(q) n (p) > n (9) FUNKTIONEN 3 Stetigheit Eine Funktion f mit dem Definitionsbereich d heißi stetig an der Stelle AED, wenn der Grenzwert lim f(x) existiert und Xa mit dem Funktionsweit f (a) übereinstimmt Gilt für alle Stellen aeD : - - 4 der Graph besitzt schräge Asymptoten wenn gilt n (p) = n(g) + 1 (Ermittlung durch Polynom division, GTR expand()) lim f(x) = fa xa Definitionslücke ohne Vorzeichen- wechsel (Polstelle) Unstetigheitsstellen ++ +* Definitionslucke mit Vorzeichen- wechsel (Polstelle) hebbare Lucke (heine Polstelle!) p(x) und g(x) gleichzeitig null so heißt die Funktion stetig und identisch zu F Definitionslucke mit Sprung (Polstelle) (4) Differenzierbarkeit Eine Funktion of heißt differenzierbar an der Stelle to, falls der Grenzwert lim f(xo+h)-f(xo) existiert ho h lim f(xo-h)-f(xo) ist. ho -h 5 Steigung einer Funktion ms = Ay / Ax → Schante: durchschnittliche Steigung Tangente: : momentane Steigung in P m₁ = Ay/Ax → Normale: Senkrecht zur Tangente mn= -1/m₁ Für den Win hel der Tangente gilt: tan (a) = m₁ = f'(x₁) Ableitung Der Differential quotient beschreibt die Steigung an der Stelle xo, die momentane Änderungsrate und die erste Ableitung. f'(x) = lim f(xo+h)-f(xo) h→0 h Die Ableitungsfunktion f'(x) ordnet jeder Stelle x ihre Steigung zu. Ableitungsregeln ✪ Potenzregel Faktorregel Ⓒ Konstantenregel Summenregel Ⓒ Produktregel Ⓒ Kettenregel + Quotientenregel Wichtige Ableitungen Sinus und Cosinus Exponential funktion 3 Logarithmusfunktion Ⓒ Symmetrie f(x) = x" f(x) = k·n(x) f(x) = k f(x) = u + v f(x) = u. v f(x)= h (g(x)) f(x) = u/v Monotonie Achsensymmetrie f(x) = f(-x) Achse x=0 f(a+x)=f(a-x) Achse x = a f(x) f'(x) f'(x) = n. x (n-1 f'(x)= k·n'(x) f'(x) = 0 f'(x)= u' + v' f'(x)= u'•v + u.v' f'(x)= g'(x) · h'(g(x)) f'(x) = u'•v-u-v' v² f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x) f"(x) = f(x) = a* f(x)= ex sin(x) f¹" (x) = -cos (x) f'(x) = ln (a). ax f'(x) = ex f(x) = loga (x) f'(x) = 1 / In (a)-x f(x)= In (x) f'(x) = 1/x f Punktsymmetrie f(-x) = -f(x) P (010) b-f(a-x) = f(a+x)-b P(alb) Wenn f(x) in I streng monoton steigend ist, dann ist f'(x) ≥ 0 . Wenn f(x) in I streng monoton fallend ist, dann ist f'(x) ≤ 0. pana 8 Extremstellen Notwendiges Kriterium: Besitzt eine Funktion an der Stelle x eine Extremstelle, so muss f'(x) = 0 sein. 2 Hinreichendes Kriterium: 1st f"(x) > 0, dann handelt es sich um eine Minimumstelle. 1st f"(x) <0, dann handelt es sich um eine Maximum stelle. (bei f"(x)=0 bedarf es weiterer Untersuchungen) (9) Wendestellen - Notwendiges kriterium: 1st x eine Wendestelle von f(x), so muss f"(x) = 0 sein. Hinreichendes Kriterium: Gilt zugleich f'(x) ‡0, dann handelt es sich sicher um eine wendestelle •Sattelstellen sind Wendestellen mit waagerechter Tangente, es gilt zusätzlich f'(x) = 0 (10) Nullstellen → bei gebrochenrationalen Funktionen wird das Zählerpolynom gleich null gesetzt, um die Nullstellen zu ermitteln quadratische Funktionen f(x) = x² + px +9 × 412 = − 6 ± √ ( ² ) ² - 9 2 biquadratische Funktionen f(x) = x² + px² + q 33 Funktionen der Form 0 = ax + bxn 0= xn. (axm-n+b) x₁ = 0 X₂ X3 Substitution x²=2, doppelt pq- Formel axm+ bx mit nam →xn Aushlammern 11 Linearfa ktorzerlegung Das Produkt einer Funktion f der Form: f(x) = (x-a₁) "₁. (x −9₂)^² •r (x) heißt Linearfaktorzerlegung mit dem nicht linearen Rest r(x) und den Nullstellen a,, az... f verhält sich im Bereich der Nullstellen wie die Vielfachheit der entsprechenden Polenzfunktion x". ... FUNKTIONENSCHAREN zu jedem Parameter k gehört genau eine Funktion. Die Menge all dieser Funktionen wird als Funktionenschar bezeichnet. Ortskurve Die gesuchten Punkte (Wendepunkite, Extrempunkte) werden in Abhängigkeit von k bestimmt P(k+2|k²) x=k+2 k=x-2 (nach k umstellen) 33 y=k² y(x) = (x-2)² (Gleichung aus einsetzen) EXTREMWERTPROBLEME Hauptbedingung: Formel für die zu optimierende Größe aufstellen (2.B. Volumen, Abstand, ...) 2 Neben bedingung: Beziehungen zwischen den Variablen herstellen (alle möglichen Formeln aufstellen) 3 Zielfunktion: Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen (so dass die ges. Größe nur von einer Variable abhängt) 4 Extremwert ermitteln (z. B. Grafisch), Antwortsatz (auf Aufgabenstellung achten) FUNKTIONEN MIT VORGEGEBENEN GRAD ERMITTELN Funktion 3. Grades: f(x) = ax³ + bx² +cx+d f'(x)= 3ax² + 2bx + C m. H. der Angaben aus der Aufgabe lassen sich entweder Parameter bestimmen oder es sind Punlite gegeben, die man in die allgemeine Gleichung so einsetzt, dass nur die Parameter übrig bleiben f"(x)= 6ax + 2b f(x)= 6a → mit den Parametergleichungen wird ein lineares Gleichungssystem gebildet und die fehlenden Parameter bestimmil INTEGRALREGHNUNG UNBESTIMMTES INTEGRAL Ist f(x) die Ableitungsfunktion von F(x) und haben beide den Definitionsbereich D, so ist F(x) die Stammfunktion von f(x). Das unbestimmte Integral von f(x) ist die Menge aller Stamm- funktionen. (f(x) dx = F(x)+c Integrationsregeln Potenzregel 2 Summenregel 3 konstantenregel 4 Faktorregel 5 Kettenregel f(x) = x^ f(x) = u + v f(x) = c f(x) =h g(x) f(x) = h (g(x)) a Wichtige Stammfunktionen f(x) = sin(x) F(x) = -cos(x)=f(x) = // f(x) = a* X f(x)= = = F(x) = |n|x 1 F(x) = a*/In(a) f(x) = ln (x) F(x) = x (In (x)-1) BESTIMMTES INTEGRAL Der Graph f(x) schließt mit der x-Achse Teilflächen ein. Die Summe der orientierten Flächer in halte heißt bestimmtes Integral. f(x) dx = A₁+ A₂ + A3 + ... (x) dx a f(x) sei eine in I stetige Funktion und sn die Produktsumme. Der Grenzwert aller Produkt summen ist der Wert des bestimmten Integrals. b f(x) dx = lim sn n 400 n+1 X Hauptsatz der Integralrechnung: n+1 F(x) = F(x)= F(u) + F(v) F(x)= cx F(x)= k· F(g(x)) F(x)=H(g(x)) g'(x) a b {f(x)dx = [F(x)] = F(b)-F(a) a INTEGRALFUNKTION Untere Grenze a ist fest, obere Grenze x ist variabel A₁ (x) = f(t)dt = F(x) - F(a) • $fc+id+ = ANWENDUNGEN Flächeninhalte berechnen Nullstellen im Intervall bestimmen Teilintervalle bestimmen (auf Betrag achten) 3 Flacheninhalt: Summe der Teilintervalle → ordnet jeder Grenze x Seine Fläche Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen Den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen fund g im Intervall a und 6 berechnet man durch Integration der Differenzen funktion d (x) d (x) = f(x) - g(x) b SIα(x) dx = A → oder man berechnet Teil- intervalle zwischen den Schnittstellen von fund g Volumina von Rotationskörpern f(x) = Randfunktion, die um die x- Achse rotiert bildet Rotationshörper V = πT • Sf(x)² dx Bogenlänge einer kurve Für die Bogenlänge l eines Graphenstücks der Funktion f(x) über dem Intervall I gill: l= Š√ ₁ + (f'(x)) ² * dx