Analytische Geometrie: Vektoren, Parameterdarstellung, Geraden & Ebenen

Vektoren zeichnen und berechnen

Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung im Raum von einem Startpunkt zu einem Endpunkt.

Vektoren bestimmen

• Verschiebung: Berechnet durch "Spitze minus Anfang".
• Richtungsvektor: $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \\ b_3-a_3 \end{pmatrix}$.

Das 3D-System

• Verkürzung: Die $x_1$-Achse wird schräg gezeichnet und wegen der Perspektive um die Hälfte verkürzt dargestellt.

💡 Tipp: Ein Punkt ist eine feste Position, ein Vektor dagegen eine frei verschiebbare Bewegung im Raum.

Parameterdarstellung

Geraden und Ebenen lassen sich im Raum durch feste Startpunkte und Richtungsvektoren beschreiben.

Gerade und Ebene

• Gerade: $g: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \overrightarrow{AB}$ mit Stützvektor und einem Richtungsvektor.
• Ebene: $E: \vec{x} = \vec{a} + s \cdot \overrightarrow{AB} + t \cdot \overrightarrow{AC}$ mit zwei Richtungsvektoren.

Beispiel: Gerade durch $A(1|2|3)$ und $B(3|5|3)$: $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

💡 Tipp: Die Richtungsvektoren einer Ebene dürfen keine Vielfachen voneinander sein, sonst spannen sie keine Fläche auf.

Punktprobe auf Geraden

Die Punktprobe zeigt, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden liegt.

Rechnerische Prüfung

• Gleichsetzen: Setze den Punktvektor für $\vec{x}$ in die Geradengleichung ein.
• LGS lösen: Löse das entstandene Gleichungssystem zeilenweise nach dem Parameter $r$ auf.
• Entscheidung: Ergibt sich überall derselbe Wert für $r$, liegt der Punkt auf der Geraden.

Beispiel: Liegt $P(1|3|0)$ auf $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\2\\0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4\\1\\0 \end{pmatrix}$? Zeile I: $3 - 4r = 1 \Rightarrow r = 0,5$. Zeile II: $2 + 1r = 3 \Rightarrow r = 1$. Da $0,5 \neq 1$, liegt der Punkt nicht auf $g$.

💡 Tipp: Nutze im GTR den Befehl "linSolve", um das Gleichungssystem extrem schnell zu prüfen.

Mittelpunkte berechnen

Der Mittelpunkt $M_{AB}$ teilt die Strecke zwischen zwei Punkten exakt in zwei Hälften.

Methode 1: Die Formel

• Mittelwert: Berechne den Durchschnitt der einzelnen Koordinaten.
• Formel: $M_{AB} \left( \frac{a_1+b_1}{2} \,|\, \frac{a_2+b_2}{2} \,|\, \frac{a_3+b_3}{2} \right)$.

Methode 2: Vektorweg

• Halber Vektor: Gehe vom Startpunkt den halben Richtungsvektor entlang: $\vec{OM} = \vec{OA} + 0,5 \cdot \overrightarrow{AB}$.

💡 Tipp: Die Formel (Methode 1) ist im Hilfsmittelfreien Teil meist der schnellste Weg zum Ergebnis.

Lagebeziehungen

Zwei Geraden im Raum können zueinander parallel, identisch, schneidend oder windschief sein.

Lage bestimmen

• Parallel / Identisch: Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander.
• Schneidend / Windschief: Richtungsvektoren sind keine Vielfachen. Setze die Geraden gleich.
• Schnittpunkt: Setze den berechneten Parameterwert in die Geradengleichung ein.

💡 Tipp: Windschief bedeutet, dass die Geraden in unterschiedliche Richtungen laufen und sich niemals kreuzen.

Punkte spiegeln

Wird ein Punkt $A$ an einem Symmetriepunkt $H$ gespiegelt, entsteht der Bildpunkt $A'$.

Konstruktion des Bildpunktes

• Vektor bestimmen: Berechne den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AH}$.
• Doppelter Weg: Gehe von $A$ aus zweimal diesen Vektor oder addiere ihn einfach zu $H$.
• Formel: $\overrightarrow{OA'} = \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{AH}$ oder $\overrightarrow{OA'} = \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{AH}$.

Beispiel: $A(9|1|6)$, $H(3|-2|5) \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \begin{pmatrix} -6\\-3\\-1 \end{pmatrix}$. $\overrightarrow{OA'} = \begin{pmatrix} 9\\1\\6 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -6\\-3\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-5\\4 \end{pmatrix}$.

💡 Tipp: Zeichne dir eine Skizze der Reihenfolge $A - H - A'$ auf, um Rechenfehler bei den Vorzeichen zu vermeiden.

Abstand zweier Punkte

Der Abstand zwischen zwei Punkten entspricht mathematisch der Länge des Verbindungsvektors.

Abstandsberechnung

• Länge / Betrag: Der Abstand $d$ wird über den dreidimensionalen Pythagoras berechnet.
• Abstandsformel: $d = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + (a_3-b_3)^2}$.

Beispiel: Abstand zwischen $A(1|0|3)$ und $B(3|0|6)$: $d = \sqrt{(1-3)^2 + 0^2 + (3-6)^2} = \sqrt{4 + 0 + 9} = \sqrt{13} \approx 3,61$.

💡 Tipp: Da alle Differenzen in der Formel quadriert werden, fallen negative Vorzeichen beim Rechnen automatisch weg.