Analytische Geometrie – Geraden, Ebenen, Lagebeziehungen, Schnittwinkel & Abstände

Ebenen & Lagebeziehungen

Darstellungsformen von Ebenen

Ebenen lassen sich im Raum auf drei verschiedene Arten mathematisch beschreiben.

• Parameterform: $E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ mit Stützvektor und zwei Spannvektoren.
• Normalenform: $\vec{n} \cdot (\vec{x} - \vec{p}) = 0$, nutzt den Normalenvektor $\vec{n}$, der orthogonal zur Ebene steht.
• Koordinatenform: $a x_1 + b x_2 + c x_3 = d$, wobei die Koeffizienten den Normalenvektor bilden.

Schnittwinkel berechnen

Winkel zwischen Vektoren werden immer über das Skalarprodukt bestimmt.

• Gerade-Gerade: $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
• Gerade-Ebene: $\sin(\alpha) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|}$ (Achtung: Sinus nutzen!)

💡 Tipp: Achte bei den Winkelformeln im Zähler immer auf die Betragsstriche, damit du den kleineren, spitzen Winkel ($< 90^\circ$) erhältst.

Abstände im Raum

Abstand Punkt-Ebene

Der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Ebene wird über ein Lot berechnet.

• Lotgerade: Stelle eine Hilfsgerade mit dem Punkt als Stützvektor und $\vec{n}$ als Richtungsvektor auf.
• Durchstoßpunkt: Setze die Gerade in die Ebene ein, bestimme $t$ und berechne den Schnittpunkt $S$.
• Länge: Der Abstand entspricht der Länge des Vektors zwischen dem Punkt und $S$.

Abstand Punkt-Gerade

Hier hilft eine senkrecht auf der Geraden stehende Hilfsebene.

• Hilfsebene: Nutze den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor für eine Hilfsebene durch den Punkt.

Beispiel: Abstand der Punkte $A(1|0|0)$ und $B(4|4|0)$: $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3\\4\\0 \end{pmatrix}$ $d = |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5$

💡 Tipp: Für den Abstand zweier paralleler Geraden machst du einfach eine Punktprobe mit einem beliebigen Punkt der einen Gerade zur anderen Gerade.

Windschiefe Geraden & Gauß

Windschiefe Abstände

Geraden sind windschief, wenn sie nicht parallel sind und sich nicht schneiden.

• Normalenvektor: Bestimme $\vec{n}$ über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
• Abstandsformel: $d = \frac{|(\vec{p} - \vec{a}) \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ mit den Stützvektoren $\vec{p}$ und $\vec{a}$.

Das Gauß-Verfahren

Verfahren zum systematischen Lösen linearer Gleichungssysteme (LGS).

• Stufenform: Bringe die Matrix durch Zeilenoperationen so herab, dass unter der Hauptdiagonalen nur Nullen stehen.
• Lösbarkeit: $0 = 0$ bedeutet unendlich viele Lösungen; $0 = c$ (mit $c \neq 0$) bedeutet keine Lösung.

💡 Tipp: Nutze im GTR den Befehl rref oder linSolve, um deine Ergebnisse beim Gauß-Verfahren blitzschnell zu kontrollieren.