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• ANALYTIS ANAL Betrag eines Vektors: (Abstand zweier P) Rechnen mit Vektoren: Addition: Skalasmultiplikation: a+b= Skalarprodukt: Kreuzprodukt: Formeln: /a₁ + b₁² =a₂+ b₂ a3 + b3 TISCHE GEOMETRIE |a| = √√ a² + a² + a²³ sa= axb → a. b Winkel zw. 2 vektoren: Lagebeziehung testen : S ал (88) S. Q₂ S. 93 a+b= (3) a · b = |ã\ • \ B \· cosy ab₁ + a₂b₂+a3b3 Mittelpunkt der Strecke AB: /a₂b3- a₂b3-a3b₂ =a3b₁-a₁bz a1b₂-a₂b₁ a = (²) ج= OM=OA+AM 3. a → ergibt vektor, der senkrecht zu å und To steht (1 1/2 AB M (an+by / aztea/ Da+les) 2 2 2 ä ã o b casy = Tal·151 orthogonal: 6-(3) 16 kollinear : 8: 2 181 : a =b : Schnelltest → a∙b=0 ->>> genaue werte verwenden (Vektoren aus gleicher Ecke wählen) Lineare Unabhängigkeit / Komplanarität 2 Vektoren kollinear = abhängig < prüfen: r. a = 6 b nicht kollinear unabhängig 3 Vektoren: komplanar abhängig Varianten: Berechnungen Flächen: nicht komplanar unabhängig Volumen: (1) Z=r·a+s.b (2) (3) ra+s·b+t=0 von Flächen/Volumen: (1) Parallelogramm (2) Dreieck (3) Trapez Schnelltest: (axb) = 0 → komplanas, da kein Spat aufgespannt wird (1) Spat (2) Pyramide (dreiseitig) (3) Pyramide (vierseitig (4) Pyramidenstumpf Hinweis : : : : : : : 91 A = 1/2 a V 19 ris auffindbar: komplanar ↳ heißt Linearkombination A = |QxB1 2² ² B A a = (₁s,t=0 unabhängig, sonst abhängig V = X → 2 = 2 ·ã +3.5 in zwei Dreiecke aufteilen V = |(axb).- ²1 16 (α xb) c 61 sl là xb) 2 Spitze berechnen (Geraden Schnittpunkte) große Pyramide - abgesägte Pyramide begünstigte Lage auch elementar möglich V = Ag.h (gerader körper) V = 1/3 Ag.h Geraden Lagebeziehungen: Teilungsverhältnis : g: x = a + r.m ↑ Ortsvektor Richtungsvektor (1) parallel (2) identisch (3) Schneidend : : : (5) Spurpunkte ma ll mz mil1 m² und A von g ist auch auf ʼn (Punktprobe) → - gleichsetzen (1) Punkt auf Geraden? runds bestimmen - roder S in...
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Gleichung einsetzen, um S zu bestimmen (2) Punkt sogar auf AB : (3) Teilungsverhältnis ermitteln : (4) Schnittwinkel zweier Geraden: Punktprobe 0≤8≤1 (wo Gerade die Ebene das Koordinatensystems durchbricht (6) Abstand zweier Geraden: → parallele Geraden Windschiefe Geraden : GAB : " A(21113) P(21211) also zw. A und B x (3) = r = 115 cos y = d = + B(2161-7) 2 +₁ ( 3 ) = ( ²1 ) tr 115 + m₁ m₂ Imal-(m₂) 9: x = (0 (1) + r (3) Spurpunkt mit x-y-Ebene 415 (m₁x m₂). P.P₂ Im₁ x m³²₂1 d = 1(-p) •ño | 1:4 Ebenen: (1) Parameterform : (2) Normalen form ● (3) Koordinatenform : Spezielle Ebenen: (4) Achsen abschnittsform: . • Lagebeziehung: Gerade - Ebene x-y-Ebene y-z - Ebene x-z- Ebene Punkt innerhalb eines Parallelogramms: (Parameterform nötig!) : Punkt innerhalb eines Dreiecks: (siehe Pyramide) Schnittwinkel: Gerade-Ebene: Lagebeziehung: Ebene-Ebene: E₁ X = a +r·b +5.² E: E: E: (2) Gerade (1) parallel: ax+by+ cz=d a 2=0 X-2 X = O y=0 α = L = auf Ebene (3) Schneidend: (4) Sonderfall: Senkrecht 0 ≤r+s≤1 (1) parallel + : 1. ñ·m=0 90⁰- J-90⁰ (2) identisch >1010 .ศ.o E: Ẵ²³ = ẩ + ‹·b +s·² = OP + ~/010 ·m=0 (₁ senkrecht") 2. Punktprobe! A auf Ebene? ilm 0 ≤ ≤1 und 0≤s≤1 : Parameter form: glichsetzen koordinatenform: einsetzen n.m Hilfswinkel:: cosy = |ñº 1.1ml = mit ris >0 1 , wenn & <90° , wenn y > 90° : 7117²₂ . 71171₂ Punktprobe! A auf Ebene? (3) Schneidend gleichsetzen (4) Sonderfall: ñ tñ₂ schnelltest: ₁1²₂=0 Senkrecht schneidend . . Schnittwinkel zweier Ebenen: Abstand Punkt von Ebene. : Abstand zweier Ebenen (parallel): Abstand Ebene und Gerade, : die dazu parallel cos= 0₁.0₂1 101 10₂1 1. Punkt von einer Ebene bestimmen / ablesen 2. Abstand von diesem Punkt zur Ebene bestimmen 1. Punkt von Gerade ablesen 2. Abstand von diesem Punkt zur Ebene bestimmen
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