Definition: Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie kollinear sind, d.h. wenn einer ein Vielfaches des anderen ist.

Highlight: Ein schneller Test für Komplanarität ist (a × b) · c = 0, was bedeutet, dass kein Spat (Parallelflach) aufgespannt wird.

Beispiel: Das Volumen eines Spats (Parallelflachs) kann mit V = |(a × b) · c| berechnet werden.

Definition: Die Parameterform einer Geraden g: x = a + r · m beschreibt alle Punkte auf der Geraden durch einen Ortsvektor a, einen Richtungsvektor m und einen Parameter r.

Highlight: Spurpunkte sind die Punkte, an denen eine Gerade die Koordinatenebenen durchstößt.

Beispiel: Der Schnittwinkel zweier Geraden kann mit der Formel cos γ = (m₁ · m₂) / (|m₁| · |m₂|) berechnet werden, wobei m₁ und m₂ die Richtungsvektoren der Geraden sind.

Definition: Die Parameterform einer Ebene E: x = a + r · b + s · c beschreibt alle Punkte in der Ebene durch einen Ortsvektor a und zwei Richtungsvektoren b und c.

Highlight: Die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene kann parallel, schneidend oder als Sonderfall senkrecht sein.

Beispiel: Für die Lagebeziehung Gerade Ebene kann der Schnittwinkel mit der Formel cos α = |n · m| / (|n| · |m|) berechnet werden, wobei n der Normalenvektor der Ebene und m der Richtungsvektor der Geraden ist.

Definition: Der Schnittwinkel zweier Ebenen kann mit der Formel cos φ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|) berechnet werden, wobei n₁ und n₂ die Normalenvektoren der Ebenen sind.

Highlight: Der Abstand d eines Punktes P von einer Ebene E mit der Normalenform n · x = p kann mit d = |n · P - p| / |n| berechnet werden.

Beispiel: Für die Lagebeziehung Gerade Ebene Parameterform kann der Abstand zwischen einer Ebene und einer parallelen Geraden berechnet werden, indem man zunächst einen Punkt von der Geraden abliest und dann den Abstand dieses Punktes zur Ebene bestimmt.

Definition: Der Betrag eines Vektors |a| = √$a₁² + a₂² + a₃²$ repräsentiert die Länge des Vektors im dreidimensionalen Raum.

Highlight: Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a × b ergibt einen Vektor, der senkrecht zu beiden Ausgangsvektoren steht.

Beispiel: Der Mittelpunkt M einer Strecke AB kann mit der Formel OM = OA + 1/2 AB berechnet werden.