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Analytische Geometrie
27.2.2021
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ANALYTISCHE TISCHE GEOMETRIE Betrag eines Vektors. (Abstand zweier P) Rechnen mit Vektoren: Addition: Skalasmultiplikation: a+b= Skalarprodukt: Kreuzprodukt: Formeln: /a₁ + b₁² =a₂+ b₂ a3+ b3 Tal = √√ a² + a² + a²³ S.a = axb Lagebeziehung testen: Winkel zw. 2 vektoren: S. a₁ S. Q₂ S. 93 a b = |a|·|B\cos8 ã b Mittelpunkt der Strecke AB: → ergibt vektor, der senkre a = (²) = a₁b₁ + a₂b₂ +azb3 a₂b3-a3b₂ =a3b₁-a₁b3 =さ a1b₂-a₂b₁ 3. 32 a casy = M (Gneb / Batts / Sacks) 2 ટ 2 OM OA+AM (1 1/2 AB - zu d und to steht b ā. 121.161 kollinear Tai ra=b ->> orthogonal • schnelltest → a·b=0 genaue Werte verwenden (Vektoren aus gleicher Ecke wählen) Lineare Unabhängigkeit / Komplanarität 2 Vektoren: kollinear abhängig G prüfen: r a = b nicht kollinear unabhängig 3 Vektoren: komplanar abhängig Varianten: Berechnungen nicht komplanar ≈ unabhängig Volumen: (1) 2= r⋅a+s. b (2) (3) ra+sb+t=0 von Flächen/ Volumen: Flächen: (1) Parallelogramm (2) Dreieck (3) Trapez Schnelltest: (axb)=0 → komplanas, da kein Spat aufgespannt wird (1) Spat (2) Pyramide (dreiseitig) (3) Pyramide (vierseitig (4) Pyramidenstumpf Hinweis : : : : : : : : A-axel ā = r.sauffindbar: komplanar ↳heißt Linearkombination → r, s,t=0 unabhängig, sonst abhängig V = - V = 6 A = 1/2 |a in zwei Dreiecke aufteilen. X V = |(axb) | 1 (axb) c →>>> 6 A ā 61 V = 2= 2a+3.B 1/ (ã xã) 2 l = 1/3 Ag.h Spitze berechnen (Gera den schnittpunkte) große Pyramide-abgesägte Pyramide begünstigte Lage auch elementar möglich V = = Ag.h (gerader körper) Geraden Lagebeziehungen Teilungsverhältnis: g: x = a + r.m Ortsvektor (1) parallel (2) identisch Richtungsvekto (3) schneidend : : (5) Spurpunkte mall m₂ mil1 m₂ und A von g ist auch auf n (Punktprobe) gleichsetzen - runds bestimmen. - roders in Gleichung einsetzen, um S zu bestimmen Punktprobe (1) Punkt auf Geraden? (2) Punkt sogar auf AB : (3) Teilungsverhältnis ermitteln : 0≤8≤1 (4) Schnittwinkel zweier Geraden: (wo Gerade die Ebene das Koordinatensystems durchbricht : (6)...
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Alternativer Bildtext:
Abstand zweier Geraden: → parallele Geraden → Windschiefe Geraden A(21113) GAB P(21211) cosy also zw. A und B r = 1/5 = (3) d= 115 + B(2161-7) m₁ m₂ Imal (m₂) g: (21)+ (3) Spurpunkt mit x-y-Ebene 415 d = (m₁ x m₂) · P₁P₂ Im₁ x m₂l (-p) •ñol = 1:4 • . Ebenen: (1) Parameterform : (2) Normalen form (3) Koordinatenform : (4) Achsen abschnittsform: Spezielle Ebenen: Lagebeziehung: Gerade - Ebene Punkt innerhalb eines Parallelogramms: (Parameterform nötig!) • Punkt innerhalb eines Dreiecks: (siehe Pyramide) B Schnittwinkel: Gerade-Ebene: x-y-Ebene y-z - Ebene x-z- Ebene → Lagebeziehung: Ebene-Ebene: E: X = 2 + b + s. 2 E: € [1-1] KO E: E: →>> 2=0 →>> ax+by+ cz=d (2) Gerade x|010 X=O y=0 (1) parallel: auf Ebene : (4) Sonderfall: Senkrecht 0 ≤r+s≤1 Hilfswinkel: + (1) parallel >1010 % (3) Schneidend: Parameter form: gleichsetzen Koordinaten form: einsetzen E⋅ ² = a + ‹· b +5.2 (2) identisch : (3) Schneidend (4) sondurfall Senkrecht schneidend + 1. π = 0 2. Punktprobe! A auf Ebene? ñ·m = 0 (₁ senkrecht") แต 0 ≤ ≤1 und 0≤s≤1 블 : mit ris >O 7.m 8: casp = |ñºl (ml α = 90⁰-, wenn & <90° α = 8-90° , wenn & > 90° = 7₁1171₂ OP . 1 • 71117/₂ Punktprobe! A auf Ebene? ni tñ₂ gleichsetzen schnelltest: ₁7²₂=0 Schnittwinkel zweier Ebenen: Abstand Punkt von Ebene : Abstand zweier Ebenen (parallel). Abstand Ebene und Gerade, die dazu parallel cos = 10₁0₂1 10₁ 10₂1 1. Punkt von einer Ebene bestimmen / ablesen 2. Abstand von diesem Punkt zur Ebene bestimmen 1. Punkt von Gerade ablesen 2. Abstand von diesem Punkt zur Ebene bestimmen