Analytische Geometrie – Abi‑Lernzettel NRW 2022 (Vektoren, Geraden, Ebenen)

Vektoren und Geraden im Raum

Vektoren berechnen

Vektoren beschreiben Verschiebungen im Raum.

• Verbindungsvektor: Berechnet sich über die Differenz $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$.
• Länge (Betrag): Wird über die Formel $|\vec{v}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$ bestimmt.
• Kollinearität: Zwei Vektoren sind kollinear, wenn sie Vielfache voneinander sind ($\vec{a} = k \cdot \vec{b}$).

Geradengleichung und Punktprobe

Eine Gerade im Raum wird durch einen Stütz- und einen Richtungsvektor definiert.

• Parameterform: $g: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}$ mit dem Stützvektor $\vec{p}$ und Richtungsvektor $\vec{u}$.
• Punktprobe: Setze den Punkt für $\vec{x}$ ein. Liefert das LGS ein eindeutiges $r$, liegt der Punkt auf der Geraden.

Beispiel: Prüfe, ob $A(1|2|3)$ auf $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ liegt.

1. Zeile 2: $2 = 0 + 2r \Rightarrow r = 1$.
2. Kontrolle in Zeile 1 und 3 stimmt, der Punkt liegt auf $g$.

💡 Tipp: Achte beim Zeichnen darauf, dass ein Schritt auf der $x_2$- oder $x_3$-Achse im Koordinatensystem doppelt so lang ist wie auf der schrägen $x_1$-Achse.

Ebenen und Lagebeziehungen

Darstellungsformen von Ebenen

Ebenen lassen sich im Raum auf drei verschiedene Arten beschreiben.

• Parameterform: $E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$ mit Spannvektoren $\vec{u}$ and $\vec{v}$.
• Normalenform: $(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0$, wobei $\vec{n}$ orthogonal auf der Ebene steht.
• Koordinatenform: $n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d$ nutzt direkt die Einträge des Normalenvektors.

Lagebeziehungen bestimmen

Geraden und Ebenen können zueinander parallel sein, sich schneiden oder ineinander liegen.

• Gerade-Ebene: Setze die Gerade in die Koordinatenform der Ebene ein und löse nach dem Parameter auf.
• Ebene-Ebene: Sind die Normalenvektoren kollinear, sind die Ebenen parallel oder identisch; andernfalls bilden sie eine Schnittgerade.

💡 Tipp: Wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren null ergibt ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$), stehen sie immer im $90^\circ$-Winkel (orthogonal) zueinander.

Abstände, Winkel und Spiegelungen

Abstands- und Winkelberechnung

Abstände sind immer die kürzeste Verbindung zwischen Objekten.

• Schnittwinkel: Berechne den Winkel zwischen zwei Vektoren im GTR über $\cos^{-1}\left(\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right)$.
• Punkt-Ebene-Abstand: Nutze eine Hilfsgerade mit dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor durch den Punkt.

Spiegelungen im Raum

Punkte können an anderen Punkten, Geraden oder Ebenen gespiegelt werden.

• Spiegelpunkt $P'$: Wird über den Gegenvektor zum Symmetriezentrum bestimmt.

Beispiel: Spiegele $P$ am Punkt $Q$.

1. Berechne den Verbindungsvektor $\vec{PQ}$.
2. Der Ortsvektor des gespiegelten Punktes ist $\vec{OP'} = \vec{OP} + 2 \cdot \vec{PQ}$.

💡 Tipp: Berechne den Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden immer mit dem Sinus ($\sin$) statt dem Kosinus, da du mit dem Normalenvektor der Ebene rechnest.