Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Kette – einfache Aufgaben & Beispiele

Bernoulli-Experimente

Grundlagen der Bernoulli-Kette

Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei Ergebnisse: Erfolg oder Misserfolg.

• Erfolgswahrscheinlichkeit $p$: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer.
• Gegenwahrscheinlichkeit $q$: Berechnet sich über $q = 1 - p$.
• Bernoulli-Kette: Das $n$-malige, unabhängige Wiederholen des Experiments.

Die Bernoulli-Formel

Mit der Formel berechnest du die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Erfolge.

• Formel: $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
• GTR-Befehl: binompdf(n, p, k) liefert die exakte Wahrscheinlichkeit.

Beispiel: Würfel 4-mal werfen ($n=4$, $p=\frac{1}{6}$). Wahrscheinlichkeit für genau zwei Sechsen ($k=2$): $P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^2 \approx 12\%$

💡 Tipp: Achte darauf, dass sich $p$ bei einer echten Bernoulli-Kette zwischen den Durchgängen niemals verändern darf.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

Summenwahrscheinlichkeiten berechnen

Wenn nach Bereichen wie "mindestens" oder "höchstens" gefragt wird, summierst du die Einzelwahrscheinlichkeiten auf.

• Höchstens $k$ Erfolge: Berechnet sich über $P(X \le k)$ mit binomcdf(n, p, 0, k).
• Mindestens $k$ Erfolge: Berechnet sich über $P(X \ge k)$ mit binomcdf(n, p, k, n).
• Bereiche: Für $a \le X \le b$ nutzt du binomcdf(n, p, a, b).

Beispiel: Bei $n=4$ und $p=\frac{1}{6}$ die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Sechsen ($k \ge 2$): binomcdf(4, 1/6, 2, 4) $\approx 13,19\%$

💡 Tipp: Formuliere Bedingungen wie "weniger als 4" immer erst in "höchstens 3" ($X \le 3$) um, bevor du sie in den Taschenrechner eintippst.