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Die natürliche Logarithmusfunktion in Mathe

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 Die Logarithmusfunktion
Eine GFS von ... Gliederung
1. Was ist eine Umkehrfunktion?
2. Der Graph der Logarithmusfunktion
3. Die Ableitung
4
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1. Was ist eine Umkehrfunktion?
2. Der Graph der Logarithmusfunktion
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Benny Kurz

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Eine GFS inklusive Ausarbeitung im Fach Mathe zum Thema " die natürliche Logarithmusfunktion"

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Die Logarithmusfunktion Eine GFS von ... Gliederung 1. Was ist eine Umkehrfunktion? 2. Der Graph der Logarithmusfunktion 3. Die Ableitung 4. Anwendungsaufgaben 5. Quellen 1. Was ist eine Umkehrfunktion? Bei einer Umkehrfunktion werden die x- und y- Werte von zwei Funktionen vertauscht Spiegelung an der Winkelhalbierenden Eine Funktion ist umkehrbar, wenn: Jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet ist → Lineare Funktionen sind IMMER umkehrbar → Parabeln sind NICHT umkehrbar 1. Was ist eine Umkehrfunktion? 10 9 8 7 6- 5 4 3 2 1 2 3 f(x)=x² f²¹(x)=√x 8 Winkelhalbierende: y=x 9 10 11 12 13 https://s14-eu5.ixquick.com/cgi-bin/serveimage?url=https:%2F%2Fmedia.studienkreis.de%2Fassets%2Fcourses%2Fmedia%2Fumkehrfunktionx2-ca.png&sp=d2f536895684ca13e1c27f02899966c7 ⇒ Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion ist umkehrbar. Referentin: Fach: Lehrer: Klassenstufe: Mathematik K1 DIE NATÜRLICHE LOGARITHMUSFUNKTION Ich halte heute meine GFS über die natürliche Logarithmusfunktion. Ich werde heute damit beginnen, euch etwas über Umkehrfunktionen im Allgemeinen zu erzählen, danach komme ich zum Spezialfall der Logarithmusfunktion und zuletzt werde ich euch erklären, wie man den Logarithmus ableitet. UMKEHRFUNKTIONEN Da ihr mit diesem Begriff vermutlich nicht allzu viel anfangen könnt, habe ich mir überlegt ein wenig vorzugreifen und euch diesen Begriff zu definieren, sodass ihr später gut mitkommt. Was ist eigentlich eine Umkehrfunktion? Eine Umkehrfunktion entsteht durch eine Spiegelung der ,,Originalfunktion" an der Winkelhalbierenden. Ganz allgemein sagt man, dass bei einer Umkehrfunktion die x- und y- Werte Funktionswerte von zwei Funktionen vertauscht werden. Sprich eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn: Jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet ist → Lineare Funktionen sind IMMER umkehrbar, da dort zu jedem x-Wert genau ein y- Wert zugeordnet ist. → Parabeln sind NICHT umkehrbar,...

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da dort jedem y-Wert mehrere x- Werte zugeordnet sind. 10 9 8 7 6 5- 4- 3- 2 f(x) = x² f¹(x)=√x 10 11 ● 12 13 Betrachtet man jedoch nur eine halbe Parabel, so kann man auch von dieser eine Umkehrfunktion bilden. Man vertauscht die x- und y-Werte, spiegelt die Funktion an der Winkelhalbierenden und gelangt somit zur Wurzelfunktion. Dies habe ich euch hier als Beispiel einmal mitgebracht. ➡Allgmein kann man also sagen, dass jede streng monoton steigende oder fallende Funktion umkehrbar ist! Gegeben sei die Funktion g(x) und deren Umkehrfunktion h(x) Per Definition gilt: g(x) und h(x) sind symmetrisch zueinander g(x) ist der an der Winkelhalbierenden f gespiegelte Graph von h(x) Wg(x) = Dh(x) und_ Dg(x) = Wh(x) → dies lässt sich auch wieder durch das schlichte Vertauschen von x- und y- Funktionswerten erklären. DER GRAPH DER LOGARITHMUSFUNKTION Nochmal kurz zur Wiederholung: Die Exponentialfunktion f(x)=e* ordnet jeder reellen Zahl x eine positive Zahl y=e* zu. Wie ich euch soeben erzählt habe, kann man aus jeder streng monoton steigenden Funktion eine Umkehrfunktion bilden. Dies kann man auch mit f(x)=ex tun. Die umgekehrte Funktion von ex wird allgemein als g(x)=In(x) oder auch als natürliche Logarithmusfunktion bezeichnet. Wie diese aus der e- Funktion entsteht werde ich euch im Folgenden erläutern. Die natürliche Logarithmusfunktion ordnet jedem x > 0 den natürlichen Logartihmus zu. Ihr seht schon hier, dass die In Funktion die Umkehrung der e-Funktion sein muss: Die Definitionsmenge von ex, also alle reellen Zahlen ist die Wertemenge von In(x), während die Wertemenge von ex, also alle reellen Zahlen größer 0 die Definitionsmenge von In(x) ist. Vergleich Wertetabellen g(x) und f(x): f(x) von x ausgehend y=ex X -1 0 1 2 3 4 e-1 1 E e² e³ e4 Y -1 1 E e³ e4 f(x) von y ausgehend. x=In(y) -1 0 1 2 3 st 4 Meist geht man zur Bestimmung von Funktionswerten von der x-Achse aus und bestimmt dann den die zugehörigen y-Werte. Dies könnt ihr hier für die ex- Funktion in der linken Tabelle sehen. Allerdings hat man ja häufig auch y-Werte gegeben und sucht die zugehörigen x-Werte. Um diese ausrechnen zu können, muss man die e-Funktion logarithmieren und kommt demzufolge auf die Gleichung x=In(y) (→ Flipchart!!). So kann man dann also aus y-Werten die x- Werte der natürlichen Exponentialfunktion errechnen. Dies ist hier in der rechten Spalte der Tabelle abgebildet. → Spalten von x und y sind im Grunde genommen vertauscht. Der nächste Schritt muss nun also sein, In(y) zu bestimmen, um den Graph von g zeichnen zu können. Dafür hilft man sich mit f(x)=ex. Man geht von der y-Achse aus und bestimmt den zugehörigen x-Wert an der Exponentialfunktion mit x=ln(y). Allgemein geht man zur Bestimmung von Funktionswerten jedoch von der x-Achse aus. Daher vertauscht man nun x- und y-Achse und spiegelt den Graph der natürlichen Exponentialfunktion danach an der ersten Winkelhalbierenden. Der dadurch entstehende Graph stellt den Graph der natürlichen Logarithmusfunktion g(x)=In(x) dar. ⇒ In(x) ist die Umkehrfunktion von ex Möchte man nur den Funktionsterm herleiten, so vertauscht man die x- und y- Werte der logarithmierten e-Funktion (Flipchart!!). Das bedeutet aus x=ln(y) entsteht unsere gesuchte Funktion y=In(x). Der Graph der natürlichen Logarithmusfunktion In(x) ist der an der ersten Winkelhabierenden gespiegelte Graph der Exponentialfunktion. Das bedeutet g(x) = In(x) ist die Umkehrfunktion von f(x) = e*. Auch dieser Graph hat natürlich einige charakteristische Eigenschaften, die ich euch kurz vorstellen möchte. 1. Monotonie X→ ∞ X→-∞ ⇒ g(x) — 48 ⇒ geht nicht, da man den In nicht mit negativen Zahlen bilden kann Des Weiteren wächst In(x) zwar stetig, jedoch langsamer als jede andere Potenzfunktion mit positivem Exponenten ( ln(x) → 0, x¹ → ∞). Das Bedeutet, x wächst IMMER schneller als In(x). Und wie wir ja bereits wissen, wächst ex schneller als alle anderen Potenzfunktionen, also am schnellsten. Auch hier zeigt sich wieder die Spiegelung! ex wächst unglaublich schnell und durch die Spiegelung wächst In(x) unglaublich langsam. 2. Definitions- und Wertemenge D = R¹ = {XERIX>0} W = R Das bedeutet, der In kann aus jedem x E R gebildet werden, dass größer 0 ist u Jedem beliebigem y zugeordnet werden. 3. Symmetrie Es liegt keine Standardsymmetrie vor. Denn: g(x) = In(-x) # g(x) # -g(x) (Filpchart!!) Allerings: g(x) = In(x) ist symmetrisch zur natürlichen Exponentialfunktion!

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da dort jedem y-Wert mehrere x- Werte zugeordnet sind. 10 9 8 7 6 5- 4- 3- 2 f(x) = x² f¹(x)=√x 10 11 ● 12 13 Betrachtet man jedoch nur eine halbe Parabel, so kann man auch von dieser eine Umkehrfunktion bilden. Man vertauscht die x- und y-Werte, spiegelt die Funktion an der Winkelhalbierenden und gelangt somit zur Wurzelfunktion. Dies habe ich euch hier als Beispiel einmal mitgebracht. ➡Allgmein kann man also sagen, dass jede streng monoton steigende oder fallende Funktion umkehrbar ist! Gegeben sei die Funktion g(x) und deren Umkehrfunktion h(x) Per Definition gilt: g(x) und h(x) sind symmetrisch zueinander g(x) ist der an der Winkelhalbierenden f gespiegelte Graph von h(x) Wg(x) = Dh(x) und_ Dg(x) = Wh(x) → dies lässt sich auch wieder durch das schlichte Vertauschen von x- und y- Funktionswerten erklären. DER GRAPH DER LOGARITHMUSFUNKTION Nochmal kurz zur Wiederholung: Die Exponentialfunktion f(x)=e* ordnet jeder reellen Zahl x eine positive Zahl y=e* zu. Wie ich euch soeben erzählt habe, kann man aus jeder streng monoton steigenden Funktion eine Umkehrfunktion bilden. Dies kann man auch mit f(x)=ex tun. Die umgekehrte Funktion von ex wird allgemein als g(x)=In(x) oder auch als natürliche Logarithmusfunktion bezeichnet. Wie diese aus der e- Funktion entsteht werde ich euch im Folgenden erläutern. Die natürliche Logarithmusfunktion ordnet jedem x > 0 den natürlichen Logartihmus zu. Ihr seht schon hier, dass die In Funktion die Umkehrung der e-Funktion sein muss: Die Definitionsmenge von ex, also alle reellen Zahlen ist die Wertemenge von In(x), während die Wertemenge von ex, also alle reellen Zahlen größer 0 die Definitionsmenge von In(x) ist. Vergleich Wertetabellen g(x) und f(x): f(x) von x ausgehend y=ex X -1 0 1 2 3 4 e-1 1 E e² e³ e4 Y -1 1 E e³ e4 f(x) von y ausgehend. x=In(y) -1 0 1 2 3 st 4 Meist geht man zur Bestimmung von Funktionswerten von der x-Achse aus und bestimmt dann den die zugehörigen y-Werte. Dies könnt ihr hier für die ex- Funktion in der linken Tabelle sehen. Allerdings hat man ja häufig auch y-Werte gegeben und sucht die zugehörigen x-Werte. Um diese ausrechnen zu können, muss man die e-Funktion logarithmieren und kommt demzufolge auf die Gleichung x=In(y) (→ Flipchart!!). So kann man dann also aus y-Werten die x- Werte der natürlichen Exponentialfunktion errechnen. Dies ist hier in der rechten Spalte der Tabelle abgebildet. → Spalten von x und y sind im Grunde genommen vertauscht. Der nächste Schritt muss nun also sein, In(y) zu bestimmen, um den Graph von g zeichnen zu können. Dafür hilft man sich mit f(x)=ex. Man geht von der y-Achse aus und bestimmt den zugehörigen x-Wert an der Exponentialfunktion mit x=ln(y). Allgemein geht man zur Bestimmung von Funktionswerten jedoch von der x-Achse aus. Daher vertauscht man nun x- und y-Achse und spiegelt den Graph der natürlichen Exponentialfunktion danach an der ersten Winkelhalbierenden. Der dadurch entstehende Graph stellt den Graph der natürlichen Logarithmusfunktion g(x)=In(x) dar. ⇒ In(x) ist die Umkehrfunktion von ex Möchte man nur den Funktionsterm herleiten, so vertauscht man die x- und y- Werte der logarithmierten e-Funktion (Flipchart!!). Das bedeutet aus x=ln(y) entsteht unsere gesuchte Funktion y=In(x). Der Graph der natürlichen Logarithmusfunktion In(x) ist der an der ersten Winkelhabierenden gespiegelte Graph der Exponentialfunktion. Das bedeutet g(x) = In(x) ist die Umkehrfunktion von f(x) = e*. Auch dieser Graph hat natürlich einige charakteristische Eigenschaften, die ich euch kurz vorstellen möchte. 1. Monotonie X→ ∞ X→-∞ ⇒ g(x) — 48 ⇒ geht nicht, da man den In nicht mit negativen Zahlen bilden kann Des Weiteren wächst In(x) zwar stetig, jedoch langsamer als jede andere Potenzfunktion mit positivem Exponenten ( ln(x) → 0, x¹ → ∞). Das Bedeutet, x wächst IMMER schneller als In(x). Und wie wir ja bereits wissen, wächst ex schneller als alle anderen Potenzfunktionen, also am schnellsten. Auch hier zeigt sich wieder die Spiegelung! ex wächst unglaublich schnell und durch die Spiegelung wächst In(x) unglaublich langsam. 2. Definitions- und Wertemenge D = R¹ = {XERIX>0} W = R Das bedeutet, der In kann aus jedem x E R gebildet werden, dass größer 0 ist u Jedem beliebigem y zugeordnet werden. 3. Symmetrie Es liegt keine Standardsymmetrie vor. Denn: g(x) = In(-x) # g(x) # -g(x) (Filpchart!!) Allerings: g(x) = In(x) ist symmetrisch zur natürlichen Exponentialfunktion!