Ableiten der natürlichen Exponentialfunktion

Dieses Kapitel behandelt die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = eˣ.

Die Ableitung der E-Funktion ist besonders, da sie gleich der Funktion selbst ist: f'(x) = eˣ.

Definition: Die natürliche Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, deren Ableitung gleich der Funktion selbst ist.

Die Herleitung erfolgt über den Grenzwert des Differenzenquotienten:

f'(x₀) = lim (h→0) (e^(x₀+h) - e^x₀) / h = e^x₀

Example: Für f(x) = 2eˣ ist f'(x) = 2eˣ.

Highlight: Die Kettenregel e-Funktion ist besonders wichtig für komplexere Exponentialfunktionen.

Die Ableitungsfunktion

Die Ableitungsfunktion f' ordnet jedem x aus der Definitionsmenge von f die Ableitung f'(x) an dieser Stelle zu. Für den Graphen von f gilt: f'(x) gibt die Steigung des Graphen von f im Punkt P(x/f(x)) an.

Definition: Die Ableitungsfunktion ist eine Funktion, die jedem x-Wert die entsprechende Ableitung zuordnet.

Das Kapitel behandelt auch das Ableiten der Potenzfunktion. Für f(x) = xⁿ mit n ∈ ℝ* gilt: f'(x) = n · xⁿ⁻¹.

Highlight: Die Potenzregel ist eine grundlegende Regel beim X in Potenz ableiten.

Eine Tabelle zeigt die Ableitungen verschiedener Potenzfunktionen, einschließlich Wurzelfunktionen und reziproker Funktionen.

Example: Für f(x) = x³ ist f'(x) = 3x².

Durchschnittliche Änderungsrate - Differenzenquotient

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [x₁, x₂] wird durch den Differenzenquotienten beschrieben. Dieser gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte P(x₁/f(x₁)) und Q(x₂/f(x₂)) des Funktionsgraphen an. Die Formel für den Differenzenquotienten lautet (f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁).

Definition: Der Differenzenquotient ist ein Maß für die durchschnittliche Änderung einer Funktion in einem bestimmten Intervall.

Es werden zwei Methoden zur Bestimmung des Differenzenquotienten vorgestellt:

1. Graphische Bestimmung: Hierbei wird ein Steigungsdreieck im Graphen gezeichnet und die Steigung berechnet.
2. Rechnerische Bestimmung: Die Funktionswerte werden in die Formel eingesetzt und der Quotient berechnet.

Example: Für die Funktion f(x) = x² im Intervall [7;9] ergibt sich der Differenzenquotient als (81-49)/(9-7) = 16.

Highlight: Die Ableitung Potenzfunktion Beweis kann mithilfe des Differenzenquotienten hergeleitet werden.

Höhere Ableitungen

Dieses Kapitel behandelt die Faktorregel und die Summenregel für Ableitungen sowie höhere Ableitungen.

Faktorregel: Ist f = c · g (c ∈ ℝ), so gilt f' = c · g'.

Summenregel: Ist f = u + v, so gilt f' = u' + v'.

Definition: Höhere Ableitungen sind wiederholte Anwendungen der Ableitungsregeln auf eine Funktion.

Example: Für f(x) = 3x² + 5x - 4 ist f'(x) = 6x + 5.

Highlight: Die Faktorregel und Summenregel sind grundlegend für das Potenz ableiten Kettenregel.