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Differenzialrechnung

6.1.2021

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Differenzialrechnung Durchschnittliche Änderungsrate - Differenzenquotient Lokale Änderungsrate - Differenzialquotient Ableitungsfunktion Ableiten der Potenzfunktion Höhere Ableitungen Ableiten trigonometrischer Funktionen Tangente und Normale Ableiten der E-Funktion Verkettung von Funktionen Kettenregel Produktregel Zusammenfassung Durchschnittliche Änderungsrate - Differenzenquotient Die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion fim Intervall [x₁, x²] ist der Differenzenquotient X - X f(x₂)-f(x₁) Sie gibt die Steigung der Sekante durch die Punkte P(x₁/f(x₁)) und Q(x₂/f(x₂)) des Graphen von f an. Formel: Beispiele: f(x₂)-f(x₂) X₂ X₁₂ I. Bestimmung des Differenzenquotient mithilfe des Graphen. f im Intervall [2;7] P(2/4) Q(7/6,5) Steigungsdreieck zeichnen f(7)-f(2) 6,5-4 7-2 = 0,5 II. Rechnerische Bestimmung der durchschnittlichen Änderungsrate f mit f(x)= x² [7:9] f(9)-f(7) 81-49 9-7 2 = 16 -> Y, und Y₂ an Exponenten anpassen 6 4- 2-1 P(2/4) ! 2 4 Q(7/6%) 6 8 T M 40 12 Lokale Änderungsrate-Differenzialquotient f(xo+h)-f(xo) h Formel lim f(xo +h)-f(xo) h->o h Berechnung an der Stelle Xo: 2. 3. Den Grenzwert des Differenzenquotienten Die Ableitung wird auch als lokale Änderungsrate der zugehörigen Größe bezeichnet. Ableitung f'(xo) -> Steigung der Tangente von f im Punkt P(xo/f(x)) Beispiel: (1. f(x) = x² (2. Den Differenzenquotienten aufstellen: Den Differenzenquotienten vereinfachen Den Wert des vereinfachten Terms für h→0 bestimmen f(3+h)²-f(3) ² 9 +6h+h²-9 h Xo = 3 = _6h+h² h f(xo+h)-f(xo) h h (6+h) h 6+h h-o> f'(3) = 6 für h→> 0 nennt man die Ableitung von f an der Stelle xo Bei exakter Bestimmung von der Ableitung f muss für h ein Wert einsetzen Bei graphischer Bestimmung eine Tangente zeichnen bei Xo Die Ableitungsfunktion Die Funktion, die jedem x aus der Definitionsmenge von f die Ableitung f'(x) an dieser Stelle zuordnet heißt Ableitungsfunktion f' oder Ableitung von f. Für den Graphen von f gilt: f'(x)...

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gibt die Steigung des Graphen von f im Punkt P(x/f(x)) an. Formel: Ableiten der Potenzfunktion Für f(x)=x² mit rEIR* ist f'(x) = x²- f(x) 1 X x² X³ ☆ X Xu XX w Ž * *- * *|-*|- ×> > x xfx lim f(xo+h)-f(xo) h h→0 tipo √x f'(x) or * * * ¢ & M* * * * * * * 1 2x 3x² 4x³ X-1 Höhere Ableitungen Faktorregel 1st f=c.g (CEIR), so gilt Summenregel: 1st f =u+v, so gilt. f' = u' +V' Faktorregel f(x) = (g(x) (CEIR) L> f(xo+h)-f(xo) _ _c_g(xo+h) - C-9(xo) f'(xo) = lim h> 0 = c.g'(x) Beispiele: Summenregel f(x) = u(x) +v(x) L> f(xo+h)-f(x) = u(xo+h) + V (xo+h)- (u(xo) +v(xo))= h h f'(xo) - Lim->0=u'(Xo) +V'(xo) I. f(x) = 3x² + 5x -4 f'(x) = 3·2x+5 = 6x +5 I. f(x) = -4x³+x²-3x f'= c.g' f'(x)=-4·3x+2x-3 = -12x²+2x-3 Info: Basis mal Exponent minus 1 c (9 (xo+h)-g(xo) ·= C₁ g(xo+h)-g(xo) [u(xo+h)-u(xo)] + [v(xo+h)-v(xo) h u(xo+h)-u(xo) v (xo+h)-v(xo) h Ableiten trigonometrischer Funktionen Ableitungsfunktion von sin und cos Für die Funktion f mit f(x)=sin(x) gilt: f'(x) = cos(x) Für die Funktion f mit f(x) = cos(x) gilt = f'(x) = -Sin(x) Wichtige Werte: sin(x) Cos (x) U.S.W. f(x) = sin(x) f'(x) = cos(x) f"(x) = -Sin (x) F"(x) = -cos (x) f(x) = sin(x) f(x) = (OS (x) OTT 01/12/2013 1 1 1/2 1/2 10 Beispiel: I. f(x)= 0,5 sin(x) f'(x) = 0,5-COS (x) f"(x)= -0,5 Sin (x) II. f(x)=x²-4 - COS (x) f"(x)=2x + 4 cos (x) Tangente und Normale Der Punkt Po(xo/f(xo)) liegt auf dem Graphen K der Funktion f. Die Gerade + durch Po mit der Steigung f'(xo) heißt Tangente an K in Po. Po heißt Berührpunkt. Tangentengleichung → +:y=f'(xo) (x − xo) + f(xo) Die Gerade die durch Po mit der Steigung - F(x0) heißt Normale an K in Po. Normalengleichung -> n³y = - ²/x0)(x-xo) + f(xo) Beispiele: I. Tangente bei bekannter Berührstelle; Normale —> f(x) = x²³ - 4x²+2x+5; Po(3/f(3)) y-Koordinate von Po: f(3) = 2 -> Po(3/2) NR: f(3) = 3³-4·3² +2·3+5 = 2 f'(x)=3x²-8x+2 Tangentensteigung : f'(3) = 5 —> t³y = f'(3)(x-3) + f(3) —> y= 5(x-3)+2 →> t₁y = 5x-13 Steigung der Normalen: mn = -√√(3) = - =— Normalensteigung mit Punkt - Steigungs-Form -> y = - P3) (x-3) + f (3) —> y = -(x-3)+2 d.h. n³y=-x+ ² Ableiten der natürlichen Exponentialfunktion f mit f(x) = q* q* = e' е An der Stelle xo: 1. Differemquotient 2. Grenzwert für h Ableitung der E-Funktion Xo natürliche Exponential funktion -> f'(xo): exoth - exo = eko.eh-eko = exo eh-1 h III f(x) = 5e* - 4x+1 f'(x) = 5ex - 4 f"(x) = 5ex f" (x) 5ex = = lim exo Einzige Funktion → XEIR = f'(x) = f(x) L> Euler'sche Zahl e Beispiele I. f(x) = 2e* Xo = 0; Xo = 1; Xo = -1 f(0) = 2 f'(1) = 2e f'(-1)=2e1 = 2 In (9).x eh Produkt aus dem Funktionswert Die natürliche Exponential funktion f mit f(x) = ex hat die Ableitungsfunktion f' mit f'(x) = ex exo. Lim II. f(x) = -4e* +2x f'(0) f'(1) f'(-1) = = -2 - 4e +2 -4e¹ +2 .f'(o) = +/+2 Verkettung von Funktionen Uier Grundrechenarten U+V -> (U+V)(x) U(X) + V(x) U-V →> (u-v)(x) = u(x) − v(x) = x² = x +3 u⋅v —> (u⋅v )(x) = u(x) · v (x) = (x²+1)-(x-2) -> ( ² )(x) = u(x)) 4 Außnahmen: sin(x), cos(x), tan (x) Beispiele Verkettung Zerlegung = x² + x - 1 X Gegeben sind die Funktionen u und v. Die Funktion f mit f(x) = u(v(x)) heißt Verkettung von u und V. Funktionsterm von u: jedes x durch v(x) ersetzt being f= Uᵒv U-> äußere Funktion ; v → innere Funktion von Funktionen -> I. einer Funktion -> I Man kann durch keine dieser vier Arten eine Funktion bilden. f(x)=sin(2x) -> „verdoppeln 2x = Sin (2x) —> 2. sin(x) > vou mit v(u(x)) = 2 sin(x) Summe von u & V Differenz von U&V Produkt von u&v = Quotient von u&v u(x)=e* uov(x) u(v(x)) = e**² v(x) = x+2 = V°U (x) = v(u(x)) f(x) = (x²+1)³ h(x) = x² +1 oder h(x)=x² g(x) = x³ oder g(x) = (x +1 )³ e* +2 Kettenregel Für die Verketlung f uov der Funktionen u und v gilt: f'(x)= u'(v(x)) ·∙v'(x) Spezialfall: Die innere Funktion v ist häufig linear, d.h. v(x) = ax+b Innere Ableitung. -> V'(x) = a Kettenregel f'(x) = u'(ax+b). a —> f'(x) = a. u' (ax+b) Ableitung: f=uov_ mit f(x) = u(v(x)) Beispiele. I. f(x) = (5x+2)" V(x) = 5x+2 U(v) = x² u' (V(x)) bilden Kettenregel I. f(x) = sin(x-1) V(x) = x-1 u(v) = sin (v) Ableitung von f —> f'(x) = u'(v(x)) - v'(x) V'(x) = 5 u'(v) = 4x³ 4(5x+2) f'(x) = u'(v(x)) ·v'(x) = 4(5×+2)³ ·5 = 20(5x + 2 ) V'(x) = T u'(v) = cos(v) f'(x) = u'(v(x)) · v'(x) = cos s ( 1 ×-1) I = I cos (1-1) Produktregel Ableitung eines Produktes f=u.v zweier Funktionen u und v bestimmen; Ableitung bekannt Differenzquotient von f→ Differenzquotienten von u und v f(xo+h)-f(xo) u(xo+ )-v(xo+ )- u(xo)-v(xo)___ h h Differenzquotient von u und v —> Term, - u(xo) ·v (xo+h), dann L₂_u(xo+ )¨v (xo+h) −u (xo) · v(xo + h ) + u(xo) ·v (xo+h) − u(xo ) · V(xo) L₂ 1. und letzten Term zusammenfassen; Ausklammern → Differenzquotient von u und v [u(xo+h)- u(xo)] v(xo+h)+u(xo) · [v(xo+h)-v(xo)] h f(xo+h)-f(xo) h Für h->0: f'(xo) Beispiele: Ableitung von f = Ist die Funktion f das Produkt der Funktionen u und v, d.h. f= u(x)-v(x), so gilt für die Ableitung von f f'(x)=u'(x) v(x) + u(x) v' · (x) Ableitung von f Quotient (Bruch) u(xo+h)-u (xo) h u(xo) →> I. f(x) = x²ex ·· V(xo+h)+u(xo) · V(xo+h)-v (xo) h • V (xo) + u(xo). V' (xo) u(xo).v(xo+h) u(x) = x² ; u(x) = 2x ; v(x)=e* ; v'(x) = ex f'(x) = u'(x)v(x)+U(x) v'(x) —> 2xe* + x²e* = (2x+x²) e* I. f(x)= x²₁ · f(x) = x (x+1)^ u(x) = 1 ; v(x) = (x+1)¯1 —> Kettenregel : −(x+1)-² f'(x) = u(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 (x+1)−1 +× (-(x+1)^²) X+1-X f'(x) = x+12) ² =(x + 1)² = Zusammenfassung Durchschnittliche Änderungsrate - Differenzenquotient f(x₂)-f(x₂) Ist die Funktion f auf dem Intervall [X₁; x₂] X₂ X₁ Geometrisch -> Steigung der Sekante durch die Punkte (x₁/f(x₂)) und Q(x₂ /f(x₁)) Ableitung der Funktion an der Stelle Xo Differenzenquotienten aufstellen f(xo-h)-f(xo) Vereinfachen Den Wert des Differenzenquotienten für h→0 bestimmen lim f(xo+h)-f(x) = f'(xo) Schreibweise: h→0 Tangente und Normale Die Tangente t an den Graphen von f in Po (xo/f(xo)) ist die Gerade durch Po mit der Steigung mt = f'(xo). Sie hat die Gleichung: y = f'(xo)-(x-xo) + f(xo) Die Normale n des Graphen von f in Po (xo/f(xo)) ist orthogonal (rechtwinklig; 90') zur Tangente; sie hat die Gleichung. mn= - F(x0) Ableitungen spezieller Funktionen Potenzfunktion: f(x) = x² —> f'(x) = r-xr-1 e-Funktion: f(x)=e* -> f'(x)=e* Trigonometrische Funktionen: f(x) = sin (x) ->f'(x) = cos(x) f(x) = cos(x)->f'(x)=sin(x) Verkettung zweier Funktionen Die Verkettung zweier Funktionen u und v ist die Funktion yov mit uov-u (v(x)). u → äußere Funktion, v->innere Funktion Allgemeinmeine Ableitungsregeln Summenregel: f(x) = g(x)+h(x) —> f'(x) = g'(x) +h'(x) Faktorregel: f(x) = (g(x) = f'(x) = c・g'(x) Kettenregel: f(x) = u(v(x)) —> f'(x)= u'(v(x)) ·V'(x) Produktregel: f(x) = u(x) · v(x) -> f'(x) = u(x) ·v(x) + u(x)-v¹(x) f(x)= 0,2x²; [[3;s] 0₁2-5²-0₁2 3² = 1,6 f(x) = 1/2x²³; x0=1 (1.) f(1+h)-f(1) 1 (2. = (1₁+h) ² - - 1² h Lim (1+/h) = 1 h->0 uºv(x)=e³x+1 1. (1+h)² - 1² h = 1 +7h = f'(1) - 1 f(x)= x² > f(x)=2x Po (1,5/2,25) f'(1,5) = 2.1,5-3 +³y= 3x-2,25; n³y = -√√x+2,75 u(x)=e*; V(x) = 3x +1 ; vou(x)=3e* +1 f(x)= x³ + e* -> f'(x)= 3x² +e* f(x) = -5- sin(x) ->f'(x) = -5· cos(x) f (x) = e-²x ->f'(x) = ¯¯²×·(-2) = -2.e-²x f(x)= x cos(x) ->f'(x) = cos(x) - x-sin(x)