Produkt- und Kettenregel

Produktregel

Zum Ableiten von Produkten der Form $f(x) = u(x) \cdot v(x)$.

• Formel: $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
• Kurzform: $(uv)' = u'v + uv'$

Kettenregel (lineare Verkettung)

Wende diese Regel an, wenn eine lineare Funktion im Inneren einer anderen Funktion steht: $k(x) = f(ax+b)$.

• Formel: $k'(x) = a \cdot f'(ax+b)$ ("Innere mal äußere Ableitung")
• Beispiel: Für $f(x) = (4x-2)^3$ gilt $f'(x) = 4 \cdot 3(4x-2)^2 = 12(4x-2)^2$.

💡 Tipp: Vergiss bei der Kettenregel niemals das Nachdifferenzieren der inneren Funktion.

Natürliche Exponentialfunktion

Eigenschaften der e-Funktion

Die natürliche Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ ist in der Analysis einzigartig.

• Ableitung: Die Funktion ist identisch mit ihrer Ableitung, es gilt $f'(x) = e^x$.
• Wertebereich: Da $e^x > 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$, hat die Funktion keine Nullstellen.
• Grenzwerte: Es gilt $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ und $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.

Grenzverhalten zusammengesetzter Funktionen

• Dominanz: Der Exponentialterm bestimmt bei $x \to \pm\infty$ immer das Verhalten, z. B. $\lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x = 0$.

💡 Tipp: Wenn der Taschenrechner bei der Grenzwertprüfung "Error" anzeigt, hast du wahrscheinlich einen zu großen Wert wie $e^{1000}$ eingegeben.

Ableiten und Stammfunktionen mit $e^x$

Ableitungsregeln für die e-Funktion

Kombination aus Ketten-, Produkt- und Summenregel.

• Kettenregel: $f(x) = e^{3x+1} \implies f'(x) = 3e^{3x+1}$
• Ausklammern: Nutze $e^x$ als gemeinsamen Faktor, um Ableitungen für die Nullstellensuche zu vereinfachen.

Stammfunktion & Tangenten

• Stammfunktion: Für $f(x) = a \cdot e^{mx+b}$ gilt $F(x) = \frac{a}{m} e^{mx+b}$.
• Waagerechte Tangente: Setze die erste Ableitung gleich Null: $f'(x) = 0$.

💡 Tipp: Der Steigungswinkel einer Normalen ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung: $m_n = -\frac{1}{f'(x_0)}$.

Natürliche Logarithmusfunktion

Die Umkehrfunktion der e-Funktion

Der natürliche Logarithmus $\ln(x)$ löst Exponentialgleichungen nach $x$ auf.

• Gleichung: $e^x = a \iff x = \ln(a)$ für $a > 0$.
• Ableitung & Stammfunktion: $f(x) = \ln(x) \implies f'(x) = \frac{1}{x}$ und $F(x) = x \ln(x) - x$.
• Eigenschaften: Definitionsbereich ist $\mathbb{R}^+$, mit einer Nullstelle bei $x = 1$.

Zusammenhänge

• Identitäten: $e^{\ln(a)} = a$ und $\ln(e^a) = a$.

💡 Tipp: Für x-Werte zwischen 0 und 1 liefert der Logarithmus immer negative Werte.

Logarithmusgesetze & Gleichungen

Rechenregeln für Logarithmen

Diese Gesetze helfen beim Vereinfachen von Termen und Lösen von Gleichungen.

• Multiplikation: $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$
• Division: $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$
• Exponenten: $\ln(a^r) = r \cdot \ln(a)$

Lösen von Exponentialgleichungen

• Beispiel: $4^x = 120 \implies \ln(4^x) = \ln(120) \implies x \cdot \ln(4) = \ln(120) \implies x = \frac{\ln(120)}{\ln(4)} \approx 3,45$.

💡 Tipp: Nutze den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten nach vorne zu ziehen.

Herleitung der e-Funktion

Proportionalität der Ableitung

Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist immer proportional zur Funktion selbst.

• Zusammenhang: $f'(x) = k \cdot f(x)$
• Wachstumsfaktor: Für $f(x) = 2^x$ ist $f'(x) \approx 0,69 \cdot 2^x$ (Graph liegt darunter).
• Wachstumsfaktor: Für g$x$ = $3^x$ ist $g'(x) \approx 1,09 \cdot 3^x$ (Graph liegt darüber).

Die Euler'sche Zahl $e$

• Definition: Die Basis $e \approx 2,718$ ist genau die Zahl, bei der der Proportionalitätsfaktor $k = 1$ beträgt, sodass $f'(x) = f(x)$ gilt.

💡 Tipp: Die Euler'sche Zahl liegt genau zwischen 2 und 3, weshalb ihre Ableitungsfunktion deckungsgleich mit der Ausgangsfunktion ist.

Ermittlung des Proportionalitätsfaktors

Verfahren zur Bestimmung von $k$

Es gibt verschiedene mathematische Ansätze, um den Faktor $k$ für $f(x) = b^x$ zu finden.

• Grafisch: Bestimme den $y$-Achsenabschnitt des Ableitungsfunktionen-Graphen, da $f'(0) = k$ gilt.
• Tabellarisch: Berechne den Quotienten $\frac{f'(x_i)}{f(x_i)}$ an verschiedenen Stellen.
• Grenzwert (h-Methode): Bestimme den Grenzwert des Differenzenquotienten für $h \to 0$.

Ergebnis

• Formel: Der Proportionalitätsfaktor $k$ entspricht genau dem natürlichen Logarithmus der Basis: $k = \ln(b)$.

💡 Tipp: Mit dem CAS-Rechner lässt sich der Grenzwert $\lim_{h \to 0} \frac{2^h - 1}{h} = \ln(2) \approx 0,69$ direkt bestimmen.

Sekantensteigung und Umkehrung

Sekantensteigungsfunktion

Mit der $h$-Methode lässt sich die Steigung einer Sekante berechnen, die sich der Tangente annähert.

• Formel: $m_s(x) = \frac{b^h - 1}{h} \cdot b^x$
• Grenzwert: Für $h \to 0$ wird $\frac{b^h - 1}{h}$ zu $\ln(b)$.

Geometrische Spiegelung

• Umkehrfunktion: Der Graph der natürlichen Logarithmusfunktion $f(x) = \ln(x)$ entsteht durch Spiegelung von $e^x$ an der ersten Winkelhalbierenden ($y = x$).

💡 Tipp: Der Punkt $(0|1)$ auf dem Graphen von $e^x$ wird durch die Spiegelung zum Punkt $(1|0)$ auf dem Graphen von $\ln(x)$.

Exponentielle Wachstumsprozesse

Bestandsfunktion und Änderungsrate

Bei exponentiellem Wachstum ist die momentane Änderungsrate proportional zum Bestand.

• Differenzialgleichung: $f'(t) = k \cdot f(t)$
• Lösungsfunktion: $f(t) = f(0) \cdot e^{k \cdot t}$ (mit Anfangsbestand $f(0)$ und Wachstumskonstante $k$).

Kenngrößen

• Verdopplungszeit ($k > 0$): $t_v = \frac{\ln(2)}{k}$
• Halbierungszeit ($k < 0$): $t_H = \frac{-\ln(2)}{k}$

💡 Tipp: Ein positives $k$ bedeutet exponentielle Zunahme, ein negatives $k$ bedeutet exponentiellen Zerfall.

Begrenztes Wachstum

Modellierung mit Schranke

Begrenztes Wachstum beschreibt Prozesse, die sich einer Sättigungsgrenze (Grenzbestand $G$) annähern.

• Funktionsgleichung: $f(x) = (A - G) \cdot e^{-kx} + G$ (mit Anfangsbestand $A$ und Wachstumskonstante $k > 0$).
• Zunahme ($A < G$): Der Graph nähert sich von unten an $G$ an.
• Abnahme ($A > G$): Der Graph nähert sich von oben an $G$ an.

Asymptote

• Grenzwert: Für $x \to \infty$ gilt $\lim f(x) = G$. Die Gerade $y = G$ ist die waagerechte Asymptote.

💡 Tipp: Der Faktor $(A - G)$ bestimmt, ob der Graph steigt (negativ) oder fällt (positiv).