Das Einsetzungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

Das Einsetzungsverfahren ist eine wichtige Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme. Diese Seite erklärt die Grundlagen und zeigt anhand von Beispielen, wie man dieses Verfahren anwendet.

Definition: Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr linearen Gleichungen mit zwei oder mehr Variablen.

Das Einsetzungsverfahren eignet sich besonders gut, wenn in einer der Gleichungen bereits eine Variable allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht. Falls dies nicht der Fall ist, muss zunächst eine der Gleichungen entsprechend umgeformt werden.

Beispiel: I: 3x - 7y = 1 II: 2x - y = 8

In diesem Beispiel kann man die zweite Gleichung nach y auflösen: y = 2x - 8

Der nächste Schritt besteht darin, den für die alleinstehende Variable gefundenen Ausdruck in die andere Gleichung einzusetzen. Dies ermöglicht es, den Wert der anderen Variable zu bestimmen.

Highlight: Das Einsetzungsverfahren reduziert das Problem auf eine Gleichung mit einer Unbekannten, die dann leicht gelöst werden kann.

Nach dem Einsetzen und Lösen der resultierenden Gleichung erhält man den Wert für x:

3x - 7(2x - 8) = 1 3x - 14x + 56 = 1 -11x + 56 = 1 -11x = -55 x = 5

Anschließend wird dieser Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt, um y zu berechnen:

2(5) - y = 8 10 - y = 8 -y = -2 y = 2

Vocabulary: Die Lösungsmenge L = {(5,2)} gibt die Werte für x und y an, die beide Gleichungen erfüllen.

Das Einsetzungsverfahren kann auch auf komplexere Systeme mit mehr Gleichungen und Variablen angewendet werden. Es ist ein wichtiges Werkzeug in der linearen Algebra und findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und ihrer praktischen Anwendungen.

Highlight: Für Schüler der Klasse 9 und höher ist das Beherrschen des Einsetzungsverfahrens eine wichtige Fähigkeit, die in vielen mathematischen Kontexten nützlich ist.