Mathe634Aktualisiert 4. Okt. 20261 Seite

Integralrechnung einfach erklärt: Grundlagen und Beispiele

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Wie bestimmt man eigentlich die exakte Fläche unter einer krummlinigen Kurve, ohne sich mit unendlich vielen schmalen Rechtecken zu quälen? Die Antwort darauf liefert eine der wichtigsten Entdeckungen der Mathematik: der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Dieses Prinzip verbindet das Ableiten direkt mit dem Integrieren und macht die Flächenberechnung zum Kinderspiel. Hier lernst du, wie du Stammfunktionen bildest und Integrale in wenigen Schritten exakt berechnest.
Erklärung Integralrechnung – Seite 1

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Der Hauptsatz der Integralrechnung

Das Prinzip der Stammfunktion

Das Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens.

  • Stammfunktion F(x)F(x): Es gilt immer F′(x)=f(x)F'(x) = f(x).
  • Potenzregel: Für f(x)=a⋅xnf(x) = a \cdot x^n ist F(x)=a⋅1n+1xn+1F(x) = a \cdot \frac{1}{n+1} x^{n+1}.

Integral berechnen

Die Fläche im Intervall [a,b][a, b] berechnest du über die Differenz der Stammfunktion.

  • Formel: ∫abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

Beispiel: ∫125x4dx=[x5]12\int_1^2 5x^4 dx = [x^5]_1^2 =25−15=31= 2^5 - 1^5 = 31

💡 Tipp: Vergiss beim Integrieren nicht, den Exponenten im Nenner um 1 zu erhöhen, sonst teilst du durch die falsche Zahl.

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