Deutsch

https://content.knowunity.de/CONTENT/VyxNDzQyKmdOPwBTiaYy.pdf

exponentialfuktionen und logarithmen

exponentialfuktionen: zusammensetzung, regeln, beispiele, wichtiges.
logarithmen: formeln, spezialfälle, gesetzte, beispiele, wichtiges. 

Zusammenfassung

sara

Österreich

Sonstige

AHS-Oberstufe

Mathe

exponentialfuktionen und logaritmusgesetze

25 Exponentialfunktion 9=3 20 15 y 10 5 0 wachstum und verfall: -3 -2 N (t) = No * at N (t) = Endwert No = Anfangswert at = Wachstumsfaktor²eit 0 T1/2 2T1/2 3T1/2 4T1/2 5T1/21 No = at exponentielles Wachstum: Bakterienvermehrung, Bevölkerungswachstum, Virenverbreitung; exponentieller Zerfall: Abbau von Medikamenten und Alkohol im menschlichen Körper; Exponentielles Wachstum: a = 1 1 / 00 Prozentsatz Wachstumsfaktor = 1+ 100 100 Wachstumsrate (%): p = (q - 1) * 100 Exponentieller Zerfall:a = 1-1/00 Prozentsatz Wachstumszerfall = 1 - 100 100 Wachstumsrate (%): p = (q - 1) * 100 exponentiatrunketion f(x)=ax a > 1 f(x==2x f(x) = 5x Funktionsgraph: steigend. 0<2<1 f(x)=0,5x = f(x) = 0,2x Funktionsgraph: fallend. Graph begchriben: f(x) = at (a = Funktionsgraph) a € IR Schnittpunkt y-Achse: Punkt (0|1) a 0 Schnittpunkt x-Achse: keine Nullstellen - / a #1 Der Graph der Funktion zeigt kein Symmetrieverhalten. Die x-Achse ist Asymptote (= Graph nähert sich immer mehr der x-Achse, schneidet sie aber nicht) für den Graphen. f(x) = B * at (b = Streckfaktor) f(x) =wx d = + (d = Verschiebekonstante) f(x)=3*2x * f(x) 2x + 3 = f(x)=0,5*2x * f(x)=2x-4 = - f(x)=-3*2x f(x)=2x+2 sara b > 1 = steiler 0 < b < 1 = flacher d > 0 = Verschiebung um d nach oben (+) b < 0 = gespiegelt d < 0 = Verschiebung um d nach unten (-) Bneu = k * ax Neuer Bestand = Anfangswert * Wachstumsfaktor Zeitschritte Um einen neuen Bestand Bneu zu berechnen, muss der Anfangswert k mit der Potenz a multipliziert werden. Die Basis dieser Potenz ist der Wachstumsfaktor und im Exponenten stehen die Zeitschritte. Entscheidend für alle Exponentialfunktionen ist, dass die Variable X im Exponenten steht und die Basis, also der Wachstumsfaktor, konstant ist. Außerdem entscheidend für exponentielles Wachstum oder exponentieller Zerfall ist, dass in jedem Zeitschritt mit demselben Faktor multipliziert wird. Somit überprüft man anhand der Werte aus der Tabelle, ob es einen konstanten Wachstumsfaktor gibt. Dies kann man überprüfen, indem man die Quotienten aufeinanderfolgender Funktionswerte bildet. Exponentialfunktionen sind Funktionen der Form f(x) = k * ax. Im Exponenten steht die Funktionsvariable X. in der Basis der konstante Wachstumsfaktor a. Wenn kein Startwert gegeben ist, schneidet die Funktion die y-Achse im Punkt (0|1). Wie alle anderen Funktionen kann man auch Exponentialfunktionen entlang der y-Achse verschieben. Bei der Verschiebung des Graphen entlang der y-Achse wird zu allen Funktionswerten eine feste Zahl addiert und somit der Graph nach oben bzw. unten verschoben. Beispiel: f(x) = 2x + 1 Auch in der Funktionsgleichung wird diese Zahl addiert. Eine Verschiebung in x-Richtung erkennt man an der Funktionsgleichung, also an einer Addition oder Subtraktion im Exponenten. X + 2 im Exponenten bedeutet eine Verschiebung um 2 nach links, X - 4 eine Verschiebung um 4 nach rechts. Exponentialfunktion: f(x) = 2 *2x Linearfunktion: f(x) = X + 2x Quadratische Funktion: f(x) = x² +2x Beispiele: 1) Der Wachstumsfaktor beträgt 2, weil in jedem Zeitschritt mit 2 multipliziert wird. Den Anfangswert 1 erkennt man immer am Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse. Dies entspricht dem Zeitpunkt 0. 2) Bei der Exponentialfunktion f(x) = 2x = 1 * 2x beträgt der Anfangswert 1. Er steht als Faktor vor dem Wachstumsfaktor und kann an der y-Achse abgelesen werden. sara der (Wert, um den sich die Abstände ändern (Entwicklung)) Der Wachstumsfaktor entscheidet darüber, mit welchem Faktor von Zeitschritt zu Zeitschritt multipliziert wird. Um Funktionswerte für negative Zahlen zu berechnen, wird mit dem Kehrwert der Basis gerechnet Beispiel: X = -2 f(-2) = 3-2 = (1) 1 = 9 Der Wachstumsfaktor kann auch zwischen 0 und 1 liegen. Dann verkleinert sich der Funktionswert von Zeitschritt zu Zeitschritt. Der Graph der Funktion fällt. Man spricht von exponentiellem Zerfall. Es gilt: Ist der Wachstumsfaktor zwischen 0 und 1, dann fällt die Kurve. Was liegt vor, wenn der Wachstumsfaktor a negativ ist? Dieser Fall ist ausgeschlossen. Was liegt vor, wenn der Wachstumsfaktor a großer als 1 ist? Exponentielles Wachstum. Was liegt vor, wenn der Wachstumsfaktor a zwischen 0 und 1 liegt) Exponentieller Zerfall. Für positive Exponenten gilt: Je größer der Wachstumsfaktor, desto steiler steigt die Kurve. Taschenrechner Speichern: Zahl eingeben > STO + yx Zurückstellen: RCL + yx Wertetabelle: MODE + 2TABELLE X: STO + D1 > ALPHA + RCL sara legarithmus Der Logarithmus zur Basis b von y ist diejenige Zahl, für die gilt: bx = y. Das bedeutet, man sucht die Zahl X, mit der b potenziert werden muss, damit y herauskommt. Dabei ist die Basis b gegeben. Schreibweise: log.(y) = X Der Logarithmus zur Basis b von y ist gleich X. Wenn keine Basis gegeben ist, dann ist damit der Logarithmus zur Basis 10 gemeint: log(y) = log1o(y) bx = y b=*/y = X und y gegeben, b gesucht. X = logb(y) b und y gegeben, X gesucht. Das Potenzieren ist eine Rechenoperation, die zwei Umkehroperationen hat. Wenn die

exponentialfuktionen und logaritmusgesetze

sara

exponentialfuktionen und logaritmusgesetze

exponentialfuktionen und logaritmusgesetze

sara

exponentialfuktionen und logaritmusgesetze

Fächer

Mathe