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Mathematik

Exponential- und logistische Modelle

Mathe368Aktualisiert 15. Sept. 20262 Seiten

Exponentialfunktion: exponentielles Wachstum, lineares Wachstum & Zinseszins einfach erklärt

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paulina@paulina2103
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Ein einzelnes Bakterium teilt sich und plötzlich hast du nach wenigen Stunden eine riesige Kolonie. Dieses rasante Verhalten lässt sich nicht mit normalem Plusrechnen erklären, sondern verlangt nach der Multiplikation. Hier kommt die Exponentialfunktion ins Spiel, die im Gegensatz zum gleichmäßigen linearen Wachstum alles explosionsartig steigen oder fallen lässt. Diese Zusammenfassung zeigt dir, wie du beide Wachstumsarten an ihren Formeln erkennst und berechnest.
Exponentialfunktion – Seite 1

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Exponentielles Wachstum

Die Funktionsgleichung

Werte verändern sich in gleichen Abständen um denselben Wachstumsfaktor bb.

  • Formel: f(x)=a⋅bxf(x) = a \cdot b^x
  • Anfangswert aa: Der Startwert bei x=0x = 0
  • Wachstumsfaktor bb: Berechnet über 1+z1001 + \frac{z}{100} bei Zunahme

Beispiel: 500500 € Startkapital bei 2,1 %2,1\,\% Zinsen: b=1+2,1100=1,021b = 1 + \frac{2,1}{100} = 1,021 f(x)=500⋅1,021xf(x) = 500 \cdot 1,021^x

💡 Tipp: Bei einer Abnahme (Zerfall) ist der Wachstumsfaktor bb immer kleiner als 1.

Exponentialfunktion – Seite 2

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Lineares Wachstum

Der Unterschied zur Funktion

Beim linearen Wachstum kommt pro Schritt immer derselbe Summand hinzu, anstatt zu multiplizieren.

  • Änderung: Konstant gleichbleibende Zu- oder Abnahme
  • Graph: Ergibt im Koordinatensystem eine gerade Linie

Beispiel: Eine 12 cm12\text{ cm} hohe Kerze brennt pro Minute um 2 cm2\text{ cm} ab: f(x)=12−2xf(x) = 12 - 2x

💡 Achtung: Verwechsle die Formeln nicht: f(x)=m⋅x+tf(x) = m \cdot x + t ist linear, während f(x)=a⋅bxf(x) = a \cdot b^x exponentiell ist.

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