Exponentialfunktionen – Lernzettel zu e‑Funktionen, Wachstum & Zerfall

Exponentialfunktionen & e-Funktion

Grundlagen der Funktionen

Die allgemeine Formel lautet $f(x) = c \cdot a^x$.

• Anfangswert $c$: Bestimmt den Schnittpunkt mit der y-Achse bei $P(0|c)$.
• Wachstumsfaktor $a$: Bei $a > 1$ liegt eine Zunahme vor, bei $0 < a < 1$ eine Abnahme.
• Asymptote: Der Graph nähert sich für $x \to \pm\infty$ der x-Achse an, besitzt aber keine Nullstellen.

Die natürliche e-Funktion

Die Basis $e \approx 2,718$ (Eulersche Zahl) vereinfacht das Ableiten.

• Ableitung: Für $f(x) = e^{k \cdot x}$ gilt die Ableitung $f'(x) = k \cdot e^{k \cdot x}$.
• Produktregel: Bei $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ gilt $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$.

Beispiel: $f(x) = x \cdot e^x$ ableiten: $f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)$

💡 Tipp: Klammere beim Ableiten mit der Produktregel am Ende immer $e^x$ aus, um weitere Nullstellen der Ableitung direkt abzulesen.