Extremalprobleme – einfache Anleitung mit Beispielen

Extremalprobleme lösen

Der 5-Schritt-Plan

Mit diesem Rezept löst du jede Optimierungsaufgabe systematisch.

• Hauptbedingung: Die Formel für die Größe, die maximal oder minimal werden soll (z. B. Fläche $A = a \cdot b$).
• Nebenbedingung: Gegebene Einschränkungen nutzen, um eine Variable zu isolieren.
• Zielfunktion: Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen, ableiten und $f'(x) = 0$ setzen.

💡 Tipp: Lies die Aufgabe genau durch, um direkt zu erkennen, was extremiert werden soll – das ist deine Hauptbedingung.

Extremalproblem mit Kreis & Quadrat

Flächen minimieren

Ein Beispiel zur Aufteilung einer begrenzten Zaunlänge von $10\,\text{m}$.

• Hauptbedingung: Gesamtfläche minimieren: $A(r, x) = \pi r^2 + x^2$.
• Nebenbedingung: Umfang begrenzen: $10 = 2\pi r + 4x \Rightarrow x = \frac{10 - 2\pi r}{4}$.
• Zielfunktion: $x$ einsetzen, ableiten und Nullstelle bestimmen liefert $r \approx 0,7\,\text{m}$.

Beispiel: $x = \frac{10 - 2\pi \cdot 0,7}{4}$ $x \approx 1,4\,\text{m}$

💡 Tipp: Achte beim Auflösen von Quadraten in der Zielfunktion penibel auf die binomischen Formeln.

Eingesperrtes Rechteck

Optimierung unter Parabeln

Rechtecke unter Funktionsgraphen nutzen oft die Symmetrie der Y-Achse.

• Seitenlängen: Die Breite ist meist doppelt so groß wie der X-Wert ($a = 2x$), die Höhe entspricht dem Funktionswert ($b = f(x)$).
• Flächenfunktion: Produkt der Seiten bilden: $A(x) = 2x \cdot f(x)$.
• Extrempunkt: Durch die Ableitung $A'(x) = 0$ den optimalen Punkt $P(x | f(x))$ bestimmen.

Beispiel: $A(x) = 2x \cdot (-\frac{4}{3}x^2 + 4) = -\frac{8}{3}x^3 + 8x$ $A'(x) = -8x^2 + 8 = 0 \Rightarrow x = 1$

💡 Tipp: Da Längen immer positiv sind, ist bei $x^2 = 1$ nur die Lösung $x = 1$ für den Punkt relevant.