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Methoden der Funktionsoptimierung

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Mathe589Aktualisiert 2. Okt. 20261 Seite

Extremwertaufgaben einfach erklärt – Vorgehen und Beispiel

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Wie baut man ein Stadion so, dass die Rasenfläche bei vorgegebener Laufbahnlänge maximal groß wird? Solche Praxisprobleme lösen wir in der Mathe-Oberstufe mit Extremwertaufgaben, bei denen eine bestimmte Größe maximiert oder minimiert werden soll. Dieses Material zeigt dir Schritt für Schritt am klassischen Stadion-Beispiel, wie du die Zielfunktion aufstellst und die optimale Lösung berechnest. Danach verlierst du bei diesen Aufgaben garantiert keinen Punkt mehr im Abi.
Extremwertaufgaben – Seite 1

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Extremwertaufgaben lösen

Der 4-Schritte-Weg

Mit diesem Fahrplan stellst du die mathematischen Gleichungen auf.

  • Hauptbedingung: Die Formel für die Größe, die maximal oder minimal werden soll (z. B. Fläche A=x⋅2rA = x \cdot 2r).
  • Nebenbedingung: Gegebene Grenzen aus der Aufgabe nutzen (z. B. Umfang 2x+2πr=4002x + 2\pi r = 400).
  • Zielfunktion: Nebenbedingung nach einer Variable auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen.

Extremstelle berechnen

  • Ableiten: Erste Ableitung der Zielfunktion A(r)A(r) bilden und gleich Null setzen (A′(r)=0A'(r) = 0).
  • Beispiel: Aus 400−4πr=0400 - 4\pi r = 0 folgt der optimale Radius r≈31,83 mr \approx 31,83\text{ m}.

💡 Tipp: Prüfe immer mit der zweiten Ableitung (A′′(r)<0A''(r) < 0), ob wirklich ein Maximum vorliegt.

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