Getrennte Flächenberechnung

Flächen zwischen Graphen lassen sich bestimmen, indem man die Flächen unter den einzelnen Kurven subtrahiert.

• Intervallgrenzen: Bestimmen den Integrationsbereich, hier von $x = 1$ bis $x = 4$.
• Obere Funktion: Größere Fläche unter $g(x)$ berechnen: $\int_{1}^{4} g(x)dx = 9$.
• Untere Funktion: Kleinere Fläche unter $f(x)$ abziehen: $\int_{1}^{4} f(x)dx = 3$.

Beispiel: $A = A_g - A_f = 9 - 3 = 6$ FE.

💡 Tipp: Subtrahiere immer die kleinere Fläche von der größeren, damit das Ergebnis positiv bleibt.

Die Differenzfunktion

Schneller geht es, wenn du die Funktionen vor dem Integrieren subtrahierst.

Der Rechenweg

Dank der Summenregel bildest du direkt die Differenzfunktion $h(x) = g(x) - f(x)$.

• Differenzfunktion: Terme subtrahieren: $h(x) = -\frac{4}{3}x^2 + \frac{20}{3}x - \frac{16}{3}$.
• Integration: Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: $[H(x)]_1^4$.

Beispiel: $\int_{1}^{4} h(x)dx = H(4) - H(1) = 6$ FE.

💡 Tipp: Achte beim Bilden von $g(x) - f(x)$ auf die Klammern, um Vorzeichenfehler zu vermeiden.

Integral vs. Flächeninhalt

Integrale messen orientierte Flächen, was bei Flächen unter der x-Achse zu negativen Werten führt.

• Orientierter Inhalt: Kann negativ sein, da Flächen unter der x-Achse negativ zählen.
• Absoluter Inhalt: Echte Flächengröße; berechnet über Betragsstriche $| \int f(x)dx |$.
• Nullstellen: Bei Vorzeichenwechseln musst du die Teilflächen einzeln integrieren.

💡 Tipp: Bestimme vor dem Integrieren immer die Nullstellen, damit sich positive und negative Flächen nicht gegenseitig aufheben.