Grundlagen von Funktionsgleichungen

Lineare Funktionen erkennst du daran, dass ihr Graph immer eine gerade Linie ist. Die allgemeine Formel dafür ist f$x$ = mx + b. Dabei ist m die Steigung (wie steil die Gerade ist) und b der y-Achsenabschnitt (wo die Gerade die y-Achse schneidet).

Quadratische Funktionen haben als Graph eine Parabel. Hier gibt es zwei wichtige Formen: die Normalform f$x$ = ax² + bx + c und die Scheitelpunktform f$x$ = a$x-d$² + e. Der Faktor a bestimmt, wie gestreckt oder gestaucht die Parabel ist, und c ist wieder der y-Achsenabschnitt.

Merktipp: Bei linearen Funktionen brauchst du 2 Punkte, bei quadratischen 3 Punkte!

Praktisches Vorgehen mit Beispielen

Für eine lineare Funktion mit zwei Punkten P(2|1) und Q(8|34) gehst du so vor: Zuerst berechnest du die Steigung mit der Formel m = $y₂-y₁$/$x₂-x₁$. Das ergibt hier m = $34-1$/$8-2$ = 33/6 = 5,5.

Dann setzt du die Steigung und einen Punkt in f$x$ = mx + b ein: 1 = 5,5 · 2 + b. Daraus folgt b = 1 - 11 = -10. Deine Funktionsgleichung lautet also f$x$ = 5,5x - 10.

Bei quadratischen Funktionen mit drei Punkten A(1|2), B(2|5) und C$1|-8$ setzt du jeden Punkt in f$x$ = ax² + bx + c ein. Das gibt dir drei Gleichungen mit drei Unbekannten - ein Gleichungssystem, das du dann löst.

Tipp: Prüfe deine Lösung immer, indem du die ursprünglichen Punkte einsetzt!