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Mathematik

Nullstellen und Wurzeln von Polynomen

Nullstellen/Wurzeln

Mathe1.828Aktualisiert 27. Sept. 20262 Seiten

Ganzrationale Funktionen leicht erklärt

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Lin Jing @lin_jing
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Ganz rationale Funktionen sind Polynome, die nur aus ganzen Zahlen als Exponenten bestehen - von simplen quadratischen bis hin zu komplexen kubischen und quartischen Funktionen. Diese Funktionen begegnen euch überall in der Mathematik, und mit ein paar cleveren Tricks könnt ihr sie problemlos verstehen und berechnen.
Ganz rationale Funktionen – Seite 1

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Ganz rationale Funktionen - Grundlagen und Eigenschaften

Ganz rationale Funktionen sind Polynome wie fxx = 4x³ - 2x² + x - 4 oder gxx = x⁴ - x². Der höchste Exponent bestimmt den Grad der Funktion. Bei Funktionen 3. Grades wie fxx = x³ könnt ihr durch einfache Transformationen das Aussehen verändern.

Verschiebungen funktionieren ganz logisch: fxx = x³ + 3 verschiebt die Grundfunktion um 3 Einheiten nach oben, während fxx = x−2x - 2³ um 2 Einheiten nach rechts verschiebt. Der Faktor vor der Funktion streckt oder staucht sie.

Merktipp: Bei a > 0 verläuft die kubische Funktion von links unten nach rechts oben, bei a < 0 genau umgekehrt.

Symmetrien erkennt ihr an den Exponenten: Nur ungerade Exponenten bedeuten Punktsymmetrie zum Ursprung f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x). Bei Nullstellenberechnung für kubische Funktionen gibt es keine allgemeine Formel - ihr müsst mit Wertetabellen und dem Vorzeichenwechsel arbeiten.

Ganz rationale Funktionen – Seite 2

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Funktionen 4. Grades und Linearfaktoren

Quartische Funktionen (4. Grades) haben die Form fxx = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e. Das Aussehen hängt wieder vom Vorzeichen ab: a > 0 ergibt eine W-Form, a < 0 eine M-Form. Sind alle Exponenten gerade, ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

Linearfaktoren sind euer Geheimtrick zur Funktionsbestimmung! Aus fxx = x-1$$x+1$$x-2 könnt ihr sofort die Nullstellen ablesen: x₁ = 1, x₂ = -1, x₃ = 2. Umgekehrt baut ihr aus gegebenen Nullstellen die Funktion zusammen.

Wichtig: Doppelte Nullstellen bedeuten, dass die Funktion die x-Achse nur berührt (Hoch-/Tiefpunkt), dreifache Nullstellen ergeben einen Sattelpunkt.

Mit einer Punktprobe bestimmt ihr den fehlenden Faktor a. Setzt einfach einen bekannten Punkt ein und löst nach a auf. So verwandelt ihr Linearfaktoren in die Normalform und könnt alle wichtigen Eigenschaften der Funktion bestimmen.

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